Номер 39.12, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.12. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + 16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$;

2) $\frac{x^2 + 4y^2}{x-2y} + \frac{4xy}{2y-x}$;

3) $\frac{x^2 + 25y^2}{x-5y} + \frac{10xy}{5y-x}$;

4) $\frac{9a^2 + 4y^2}{3a-2y} + \frac{12ay}{2y-3a}$;

5) $\frac{a}{2a-yb} + \frac{3a-by}{by-2a}$;

6) $\frac{a^2 x^2 + 25y^2}{ax-5y} + \frac{10axy}{5y-ax}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{a^2 + 16}{a - 4} + \frac{8a}{4 - a}$ приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатель второй дроби $4-a$ можно представить как $-(a-4)$.

$\frac{a^2 + 16}{a - 4} + \frac{8a}{4 - a} = \frac{a^2 + 16}{a - 4} - \frac{8a}{a - 4}$

Теперь вычтем числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{a^2 + 16 - 8a}{a - 4} = \frac{a^2 - 8a + 16}{a - 4}$

В числителе получили формулу квадрата разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a-4)^2$.

$\frac{(a-4)^2}{a - 4}$

Сократим дробь на $(a-4)$:

$a-4$

Ответ: $a-4$.

2) Для упрощения выражения $\frac{x^2 + 4y^2}{x - 2y} + \frac{4xy}{2y - x}$ приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатель второй дроби $2y-x$ является противоположным знаменателю первой дроби: $2y-x = -(x-2y)$.

$\frac{x^2 + 4y^2}{x - 2y} + \frac{4xy}{2y - x} = \frac{x^2 + 4y^2}{x - 2y} - \frac{4xy}{x - 2y}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим числители:

$\frac{x^2 + 4y^2 - 4xy}{x - 2y} = \frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y}$

Числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.

$\frac{(x-2y)^2}{x - 2y}$

Сократим дробь на $(x-2y)$:

$x-2y$

Ответ: $x-2y$.

3) Упростим выражение $\frac{x^2 + 25y^2}{x - 5y} + \frac{10xy}{5y - x}$.

Знаменатели дробей противоположны: $5y - x = -(x - 5y)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x - 5y$.

$\frac{x^2 + 25y^2}{x - 5y} + \frac{10xy}{-(x - 5y)} = \frac{x^2 + 25y^2}{x - 5y} - \frac{10xy}{x - 5y}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{x^2 + 25y^2 - 10xy}{x - 5y} = \frac{x^2 - 10xy + 25y^2}{x - 5y}$

В числителе находится квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x-5y)^2$.

$\frac{(x-5y)^2}{x - 5y}$

После сокращения дроби на $(x-5y)$ получаем:

$x-5y$

Ответ: $x-5y$.

4) Упростим выражение $\frac{9a^2 + 4y^2}{3a - 2y} + \frac{12ay}{2y - 3a}$.

Знаменатели $3a - 2y$ и $2y - 3a$ являются противоположными числами, так как $2y - 3a = -(3a - 2y)$.

$\frac{9a^2 + 4y^2}{3a - 2y} + \frac{12ay}{-(3a - 2y)} = \frac{9a^2 + 4y^2}{3a - 2y} - \frac{12ay}{3a - 2y}$

Объединим дроби:

$\frac{9a^2 + 4y^2 - 12ay}{3a - 2y} = \frac{9a^2 - 12ay + 4y^2}{3a - 2y}$

Числитель — это формула квадрата разности: $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2y) + (2y)^2 = (3a - 2y)^2$.

$\frac{(3a - 2y)^2}{3a - 2y}$

Сократим дробь:

$3a - 2y$

Ответ: $3a - 2y$.

5) Упростим выражение $\frac{a}{2a - yb} + \frac{3a - by}{by - 2a}$.

Знаменатели $2a-yb$ и $by-2a$ противоположны, так как $by - 2a = -(2a - by)$ (предполагая, что $yb=by$).

Приведем дроби к общему знаменателю $2a - by$:

$\frac{a}{2a - by} + \frac{3a - by}{-(2a - by)} = \frac{a}{2a - by} - \frac{3a - by}{2a - by}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a - (3a - by)}{2a - by} = \frac{a - 3a + by}{2a - by} = \frac{-2a + by}{2a - by}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$\frac{-(2a - by)}{2a - by}$

Сократим дробь на $(2a-by)$:

$-1$

Ответ: $-1$.

6) Упростим выражение $\frac{a^2x^2 + 25y^2}{ax - 5y} + \frac{10axy}{5y - ax}$.

Знаменатели дробей противоположны: $5y - ax = -(ax - 5y)$. Приведем их к общему знаменателю $ax - 5y$.

$\frac{a^2x^2 + 25y^2}{ax - 5y} - \frac{10axy}{ax - 5y}$

Объединим числители:

$\frac{a^2x^2 + 25y^2 - 10axy}{ax - 5y} = \frac{a^2x^2 - 10axy + 25y^2}{ax - 5y}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности: $(ax)^2 - 2 \cdot (ax) \cdot (5y) + (5y)^2 = (ax - 5y)^2$.

$\frac{(ax - 5y)^2}{ax - 5y}$

Сократим дробь на $(ax-5y)$:

$ax-5y$

Ответ: $ax-5y$.