Номер 39.13, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.13. Докажите, что при любом значении переменной является рациональным числом значение выражения:

1) $\frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{4-x}$;

2) $\frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{3-y}$;

3) $\frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{0,1-y}$;

4) $\frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{3-y^2}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, упростим его. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $4-x$ можно представить как $-(x-4)$.

$\frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{4-x} = \frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{-(x-4)} = \frac{-2x}{x-4} + \frac{8}{x-4}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{-2x+8}{x-4}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель $-2$:

$\frac{-2(x-4)}{x-4}$

При любом значении $x$, при котором выражение имеет смысл (то есть $x-4 \neq 0$, $x \neq 4$), мы можем сократить дробь на $(x-4)$. В результате получаем $-2$.

Так как значение выражения при любом допустимом значении переменной $x$ равно $-2$, а $-2$ является рациональным числом, то утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно $-2$, что является рациональным числом.

2) Упростим выражение $\frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{3-y}$. Приведем дроби к общему знаменателю, используя свойство $3-y = -(y-3)$.

$\frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{3-y} = \frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{-(y-3)} = \frac{0,1y}{y-3} - \frac{0,3}{y-3}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{0,1y - 0,3}{y-3}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель $0,1$:

$\frac{0,1(y-3)}{y-3}$

При любом $y$, при котором выражение определено (то есть $y \neq 3$), сокращаем дробь на $(y-3)$ и получаем $0,1$.

Значение выражения при любом допустимом $y$ равно $0,1$, что является рациональным числом (так как $0,1 = \frac{1}{10}$). Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно $0,1$, что является рациональным числом.

3) Упростим выражение $\frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{0,1-y}$. Для приведения к общему знаменателю воспользуемся тем, что $0,1-y = -(y-0,1)$.

$\frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{0,1-y} = \frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{-(y-0,1)} = \frac{3,1y}{y-0,1} - \frac{0,31}{y-0,1}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{3,1y - 0,31}{y-0,1}$

Вынесем в числителе общий множитель $3,1$ за скобки:

$\frac{3,1(y - 0,1)}{y-0,1}$

При любом $y$, кроме $y = 0,1$, мы можем сократить дробь на $(y-0,1)$, получая в результате $3,1$.

Значение выражения при любом допустимом значении $y$ равно $3,1$, что является рациональным числом (так как $3,1 = \frac{31}{10}$). Утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно $3,1$, что является рациональным числом.

4) Упростим выражение $\frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{3-y^2}$. Общий знаменатель найдем, заметив, что $3-y^2 = -(y^2-3)$.

$\frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{3-y^2} = \frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{-(y^2-3)} = \frac{0,1y^2}{y^2-3} - \frac{0,3}{y^2-3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{0,1y^2 - 0,3}{y^2-3}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель $0,1$:

$\frac{0,1(y^2 - 3)}{y^2-3}$

При условии, что $y^2-3 \neq 0$ (т.е. $y \neq \sqrt{3}$ и $y \neq -\sqrt{3}$), можно сократить дробь на $(y^2-3)$. В результате получаем $0,1$.

Так как при любом допустимом значении переменной $y$ значение выражения равно $0,1$, а $0,1$ - это рациональное число ($\frac{1}{10}$), то утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно $0,1$, что является рациональным числом.