Номер 39.19, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (39.19–39.21):

39.19.

1) $\frac{2a+n}{a-n} - \frac{3n}{a-n};$

2) $\frac{a^2+b^2}{a-b} - a;$

3) $m-n+\frac{n^2}{m+n};$

4) $a+b - \frac{a^2+b^2}{a+b};$

5) $x-\frac{9}{x-3} - 3;$

6) $a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1;$

7) $2m+2n+\frac{4n^2}{2m-2n};$

8) $2a-n+\frac{n^2+2an}{2a+n}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{2a+n}{a-n} - \frac{3n}{a-n}$ необходимо выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: $\frac{(2a+n) - 3n}{a-n} = \frac{2a + n - 3n}{a-n} = \frac{2a - 2n}{a-n}$. В числителе выносим общий множитель 2 за скобки: $\frac{2(a-n)}{a-n}$. Сокращаем дробь на общий множитель $(a-n)$. В результате получаем 2. Ответ: $2$

2) Чтобы упростить выражение $\frac{a^2+b^2}{a-b} - a$, представим $a$ в виде дроби со знаменателем $(a-b)$: $\frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a(a-b)}{a-b}$. Теперь выполним вычитание дробей: $\frac{a^2+b^2 - a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2+b^2 - a^2 + ab}{a-b}$. После приведения подобных слагаемых в числителе получаем $\frac{ab+b^2}{a-b}$. Вынесем в числителе общий множитель $b$ за скобки: $\frac{b(a+b)}{a-b}$. Ответ: $\frac{b(a+b)}{a-b}$

3) Для упрощения выражения $m-n + \frac{n^2}{m+n}$ приведем первые два слагаемых к общему знаменателю $(m+n)$: $\frac{(m-n)(m+n)}{m+n} + \frac{n^2}{m+n}$. В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов: $\frac{m^2-n^2}{m+n} + \frac{n^2}{m+n}$. Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{m^2-n^2+n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}$. Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$

4) В выражении $a+b - \frac{a^2+b^2}{a+b}$ приведем слагаемое $(a+b)$ к общему знаменателю $(a+b)$: $\frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{a+b}$. Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы для $(a+b)^2$: $\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b}$. После приведения подобных членов в числителе получаем: $\frac{2ab}{a+b}$. Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$

5) Упростим выражение $x - \frac{9}{x-3} - 3$. Сначала сгруппируем целые части: $(x-3) - \frac{9}{x-3}$. Затем приведем их к общему знаменателю $(x-3)$: $\frac{(x-3)(x-3)}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)^2 - 9}{x-3}$. Раскроем квадрат в числителе: $\frac{x^2-6x+9-9}{x-3} = \frac{x^2-6x}{x-3}$. Вынесем $x$ за скобки в числителе: $\frac{x(x-6)}{x-3}$. Ответ: $\frac{x(x-6)}{x-3}$

6) В выражении $a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1$ сгруппируем целые части: $(a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1}$. Приведем к общему знаменателю $(a^2-1)$: $\frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1}$. В числителе первой дроби применим формулу разности квадратов: $\frac{a^4-1 - (a^4+1)}{a^2-1}$. Раскроем скобки и упростим числитель: $\frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1} = \frac{-2}{a^2-1}$. Можно умножить числитель и знаменатель на -1, чтобы получить $\frac{2}{1-a^2}$. Ответ: $\frac{2}{1-a^2}$

7) Упростим выражение $2m+2n + \frac{4n^2}{2m-2n}$. Сначала вынесем общие множители: $2(m+n) + \frac{4n^2}{2(m-n)}$. Сократим дробь на 2: $2(m+n) + \frac{2n^2}{m-n}$. Приведем к общему знаменателю $(m-n)$: $\frac{2(m+n)(m-n)}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n}$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $\frac{2(m^2-n^2) + 2n^2}{m-n}$. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{2m^2-2n^2+2n^2}{m-n} = \frac{2m^2}{m-n}$. Ответ: $\frac{2m^2}{m-n}$

8) Для упрощения выражения $2a-n + \frac{n^2+2an}{2a+n}$ приведем его к общему знаменателю $(2a+n)$: $\frac{(2a-n)(2a+n)}{2a+n} + \frac{n^2+2an}{2a+n}$. В числителе первой дроби применим формулу разности квадратов: $\frac{(2a)^2-n^2 + n^2+2an}{2a+n} = \frac{4a^2-n^2+n^2+2an}{2a+n}$. Упростим числитель: $\frac{4a^2+2an}{2a+n}$. Вынесем общий множитель $2a$ в числителе: $\frac{2a(2a+n)}{2a+n}$. Сократим дробь на $(2a+n)$ и получим $2a$. Ответ: $2a$