Вопрос критерии успеха, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнить умножение и деление, возведение в степень алгебраических дробей?

Умножение

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, нужно перемножить их числители и знаменатели. Произведение числителей становится новым числителем, а произведение знаменателей — новым знаменателем.

Формула умножения дробей:

$ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $, где $B \neq 0$ и $D \neq 0$.

Порядок действий:

1. Разложите на множители числители и знаменатели всех дробей, если это возможно.
2. Запишите произведение числителей в числитель новой дроби, а произведение знаменателей — в знаменатель.
3. Сократите одинаковые множители в числителе и знаменателе.
4. Перемножьте оставшиеся множители.

Пример: Выполнить умножение $ \frac{x^2-9}{2x+4} \cdot \frac{x+2}{x-3} $.

1. Разложим на множители числители и знаменатели:

• $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $ (разность квадратов)
• $ 2x+4 = 2(x+2) $ (вынесение общего множителя)

2. Подставим разложенные выражения в исходный пример:

$ \frac{(x-3)(x+3)}{2(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x-3} $

3. Запишем под общей чертой и сократим общие множители $(x-3)$ и $(x+2)$:

$ \frac{(x-3)(x+3)(x+2)}{2(x+2)(x-3)} = \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)\cancel{(x+2)}}{2\cancel{(x+2)}\cancel{(x-3)}} = \frac{x+3}{2} $

Ответ: Произведением двух алгебраических дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей. Перед умножением рекомендуется разложить числители и знаменатели на множители для последующего сокращения.

Деление

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Дробь, обратная данной, получается путем замены числителя и знаменателя местами.

Формула деления дробей:

$ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $, где $B \neq 0$, $C \neq 0$ и $D \neq 0$.

Порядок действий:

1. Заменить операцию деления на умножение, перевернув при этом вторую дробь (делитель).
2. Выполнить умножение дробей по правилам, описанным выше.

Пример: Выполнить деление $ \frac{y^2-1}{y^2+2y+1} \div \frac{y-1}{y+1} $.

1. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{y^2-1}{y^2+2y+1} \cdot \frac{y+1}{y-1} $

2. Разложим на множители числители и знаменатели:

• $ y^2-1 = (y-1)(y+1) $ (разность квадратов)
• $ y^2+2y+1 = (y+1)^2 $ (квадрат суммы)

3. Подставим разложенные выражения и выполним умножение с сокращением:

$ \frac{(y-1)(y+1)}{(y+1)^2} \cdot \frac{y+1}{y-1} = \frac{(y-1)(y+1)(y+1)}{(y+1)^2(y-1)} = \frac{(y-1)(y+1)^2}{(y+1)^2(y-1)} = 1 $

Ответ: Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Возведение в степень

Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно ее числитель и знаменатель. Результат возведения числителя становится новым числителем, а результат возведения знаменателя — новым знаменателем.

Формула возведения в степень:

$ \left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n} $, где $B \neq 0$.

Если показатель степени — отрицательное целое число ($-n$), то дробь нужно перевернуть и возвести в положительную степень $n$:

$ \left(\frac{A}{B}\right)^{-n} = \left(\frac{B}{A}\right)^n = \frac{B^n}{A^n} $, где $A \neq 0$ и $B \neq 0$.

Порядок действий:

1. Возвести числитель дроби в указанную степень.
2. Возвести знаменатель дроби в ту же степень.
3. Записать результат в виде новой дроби.

Пример 1 (положительная степень): Возвести в степень $ \left(\frac{3a^2}{b^3}\right)^3 $.

1. Возводим в куб числитель: $ (3a^2)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 = 27a^{2 \cdot 3} = 27a^6 $.

2. Возводим в куб знаменатель: $ (b^3)^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9 $.

3. Результат: $ \frac{27a^6}{b^9} $.

Пример 2 (отрицательная степень): Возвести в степень $ \left(\frac{x-1}{y^2}\right)^{-2} $.

1. Так как степень отрицательная, переворачиваем дробь и меняем знак степени на положительный:

$ \left(\frac{y^2}{x-1}\right)^{2} $

2. Теперь возводим в квадрат числитель и знаменатель:

$ \frac{(y^2)^2}{(x-1)^2} = \frac{y^4}{(x-1)^2} = \frac{y^4}{x^2-2x+1} $

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и знаменатель по отдельности.