Номер 40.1, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.1. Представьте дробь в виде произведения или частного двух дробно-рациональных выражений:

1) $\frac{3xy-2y}{5x^2}$;

2) $\frac{4x^3 y - 2y^2}{3xy^2}$;

3) $\frac{3xy^3 + 12y}{5x^2 a}$;

4) $\frac{7xy - 25y^3}{5a^2 - x}$.

1) Чтобы представить данную дробь в виде произведения или частного, сначала преобразуем её числитель. Вынесем общий множитель за скобки.

Исходная дробь: $ \frac{3xy - 2y}{5x^2} $.

В числителе $3xy - 2y$ общим множителем является $y$. Выносим его:

$ 3xy - 2y = y(3x - 2) $

Теперь дробь имеет вид:

$ \frac{y(3x - 2)}{5x^2} $

Данное выражение можно представить как произведение двух дробно-рациональных выражений. Один из самых простых способов — представить один из множителей числителя как отдельную дробь со знаменателем 1.

$ \frac{y(3x - 2)}{5x^2} = \frac{y}{1} \cdot \frac{3x - 2}{5x^2} $

Выполним проверку, перемножив дроби: $ \frac{y}{1} \cdot \frac{3x - 2}{5x^2} = \frac{y(3x - 2)}{1 \cdot 5x^2} = \frac{3xy - 2y}{5x^2} $. Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $ \frac{y}{1} \cdot \frac{3x - 2}{5x^2} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{4x^3y - 2y^2}{3xy^2} $.

Сначала вынесем общий множитель в числителе за скобки. Общий множитель для $4x^3y$ и $2y^2$ — это $2y$.

$ 4x^3y - 2y^2 = 2y(2x^3 - y) $

Дробь примет вид:

$ \frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2} $

Теперь представим это выражение в виде произведения двух дробей, сгруппировав множители числителя и знаменателя.

$ \frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2} = \frac{2y}{3x} \cdot \frac{2x^3 - y}{y^2} $

Проверим правильность представления, перемножив полученные дроби: $ \frac{2y}{3x} \cdot \frac{2x^3 - y}{y^2} = \frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2} = \frac{4x^3y - 2y^2}{3xy^2} $. Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $ \frac{2y}{3x} \cdot \frac{2x^3 - y}{y^2} $.

3) Рассмотрим дробь $ \frac{3xy^3 + 12y}{5x^2a} $.

Вынесем общий множитель в числителе за скобки. Общий множитель для $3xy^3$ и $12y$ — это $3y$.

$ 3xy^3 + 12y = 3y(xy^2 + 4) $

Дробь примет вид:

$ \frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a} $

Представим это выражение в виде произведения двух дробей, разделив множители числителя и знаменателя на две группы.

$ \frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a} = \frac{3y}{5x^2} \cdot \frac{xy^2 + 4}{a} $

Проверим: $ \frac{3y}{5x^2} \cdot \frac{xy^2 + 4}{a} = \frac{3y(xy^2+4)}{5x^2a} = \frac{3xy^3+12y}{5x^2a} $. Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $ \frac{3y}{5x^2} \cdot \frac{xy^2 + 4}{a} $.

4) Рассмотрим дробь $ \frac{7xy - 25y^3}{5a^2 - x} $.

Вынесем общий множитель в числителе за скобки. Общий множитель для $7xy$ и $25y^3$ — это $y$.

$ 7xy - 25y^3 = y(7x - 25y^2) $

Дробь примет вид:

$ \frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x} $

Это выражение можно представить в виде частного двух дробей. Для этого воспользуемся свойством: $ \frac{A}{B} = A \div B $. В свою очередь, $A$ и $B$ можно представить в виде дробей.

Представим нашу дробь как частное:

$ \frac{y}{1} \div \frac{5a^2 - x}{7x - 25y^2} $

Чтобы проверить это, заменим деление на умножение на обратную дробь: $ \frac{y}{1} \div \frac{5a^2 - x}{7x - 25y^2} = \frac{y}{1} \cdot \frac{7x - 25y^2}{5a^2 - x} = \frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x} = \frac{7xy - 25y^3}{5a^2 - x} $. Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $ \frac{y}{1} \div \frac{5a^2 - x}{7x - 25y^2} $.