Номер 40.4, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (40.4-40.5):

40.4. 1) $ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} $;

2) $ \frac{x^2 - xy}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x-y} $;

3) $ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} $;

4) $ \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn-m^2} $;

5) $ \frac{ma-mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb-na} $;

6) $ \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{6}{a} $;

7) $ \frac{4ab}{cx+dx} \cdot \frac{ax+bx}{2ab} $;

8) $ \frac{ax-ay}{5x^2y^2} \cdot \left( -\frac{5xy}{by-bx} \right) $;

9) $ \frac{cx-cy}{35x^2y^2} \cdot \left( -\frac{15xy}{ny-nx} \right) $;

1) Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели.

$ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} = \frac{2a^2b \cdot 3x^2y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} $

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные по отдельности.

Коэффициенты: $ \frac{2 \cdot 3 \cdot 6}{3 \cdot 4 \cdot 15} = \frac{36}{180} = \frac{1}{5} $

Переменные: $ \frac{a^2b \cdot x^2y \cdot ax}{xy \cdot ab^2 \cdot b^2} = \frac{a^{2+1} \cdot b \cdot x^{2+1} \cdot y}{a \cdot b^{2+2} \cdot x \cdot y} = \frac{a^3bx^3y}{ab^4xy} = a^{3-1}b^{1-4}x^{3-1}y^{1-1} = a^2b^{-3}x^2 = \frac{a^2x^2}{b^3} $

Объединяя результаты, получаем:

$ \frac{1}{5} \cdot \frac{a^2x^2}{b^3} = \frac{a^2x^2}{5b^3} $

Ответ: $ \frac{a^2x^2}{5b^3} $

2) Сначала разложим на множители числитель первой дроби: $ x^2 - xy = x(x-y) $.

$ \frac{x^2 - xy}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x - y} = \frac{x(x - y)}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x - y} $

Теперь перемножим числители и знаменатели и сократим общие множители:

$ \frac{x(x - y) \cdot y^2 \cdot 2x^3}{4y \cdot x \cdot (x - y)} = \frac{2x^4y^2(x-y)}{4xy(x-y)} $

Сокращаем $ (x-y) $, $ x $, $ y $ и числовые коэффициенты:

$ \frac{2}{4} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y^2}{y} = \frac{1}{2} \cdot x^{4-1} \cdot y^{2-1} = \frac{1}{2}x^3y $

Ответ: $ \frac{x^3y}{2} $

3) Перемножим числители и знаменатели всех трех дробей.

$ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} = \frac{6m^3n^2 \cdot 49n^4 \cdot 5m^4p^2}{35p^3 \cdot m^5p^3 \cdot 42n^6} $

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты:

$ \frac{6 \cdot 49 \cdot 5}{35 \cdot 42} = \frac{(2 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 7)} = \frac{6 \cdot 49 \cdot 5}{35 \cdot 42} = \frac{1470}{1470} = 1 $

Сгруппируем и сократим переменные:

$ \frac{m^3n^2 \cdot n^4 \cdot m^4p^2}{p^3 \cdot m^5p^3 \cdot n^6} = \frac{m^{3+4}n^{2+4}p^2}{m^5p^{3+3}n^6} = \frac{m^7n^6p^2}{m^5p^6n^6} = m^{7-5}n^{6-6}p^{2-6} = m^2n^0p^{-4} = \frac{m^2}{p^4} $

Объединяя результаты, получаем:

$ 1 \cdot \frac{m^2}{p^4} = \frac{m^2}{p^4} $

Ответ: $ \frac{m^2}{p^4} $

4) Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ mn - m^2 = m(n-m) $. Также учтем, что $ n - m = -(m-n) $.

$ \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn-m^2} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{m(n-m)} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{-m(m-n)} $

Сократим общие множители $ (m-n) $ и $ mn $:

$ \frac{(m-n) \cdot 2mn}{mn \cdot (-m)(m-n)} = \frac{2}{-m} = -\frac{2}{m} $

Ответ: $ -\frac{2}{m} $

5) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{ma - mb}{3n^2} : \frac{2m}{nb - na} = \frac{ma - mb}{3n^2} \cdot \frac{nb - na}{2m} $

Разложим на множители числители: $ ma - mb = m(a-b) $ и $ nb - na = n(b-a) = -n(a-b) $.

$ \frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{-n(a-b)}{2m} = \frac{-mn(a-b)^2}{6mn^2} $

Сократим общие множители $ m $ и $ n $:

$ \frac{-(a-b)^2}{6n} $

Ответ: $ -\frac{(a-b)^2}{6n} $

6) Разложим на множители выражение $ ab + b^2 = b(a+b) $.

$ \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{6}{a} = \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b(a+b)}{9} \cdot \frac{6}{a} $

Перемножим числители и знаменатели и сократим общие множители:

$ \frac{3a \cdot b(a+b) \cdot 6}{b^2 \cdot 9 \cdot a} = \frac{18ab(a+b)}{9ab^2} $

Сокращаем: $ \frac{18}{9}=2 $, $ \frac{a}{a}=1 $, $ \frac{b}{b^2}=\frac{1}{b} $.

$ \frac{2(a+b)}{b} $

Ответ: $ \frac{2(a+b)}{b} $

7) Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй: $ cx + dx = x(c+d) $ и $ ax + bx = x(a+b) $.

$ \frac{4ab}{cx+dx} \cdot \frac{ax+bx}{2ab} = \frac{4ab}{x(c+d)} \cdot \frac{x(a+b)}{2ab} $

Перемножим и сократим:

$ \frac{4ab \cdot x(a+b)}{x(c+d) \cdot 2ab} = \frac{4ab}{2ab} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{a+b}{c+d} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{a+b}{c+d} $

$ \frac{2(a+b)}{c+d} $

Ответ: $ \frac{2(a+b)}{c+d} $

8) Деление заменяем умножением на обратную дробь. Сначала упростим делитель.

$ -\frac{5xy}{by-bx} = -\frac{5xy}{b(y-x)} = -\frac{5xy}{-b(x-y)} = \frac{5xy}{b(x-y)} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{ax - ay}{5x^2y^2} : \frac{5xy}{b(x-y)} = \frac{ax - ay}{5x^2y^2} \cdot \frac{b(x-y)}{5xy} $

Разложим на множители числитель первой дроби: $ ax - ay = a(x-y) $.

$ \frac{a(x-y)}{5x^2y^2} \cdot \frac{b(x-y)}{5xy} = \frac{a(x-y) \cdot b(x-y)}{5x^2y^2 \cdot 5xy} = \frac{ab(x-y)^2}{25x^3y^3} $

Ответ: $ \frac{ab(x-y)^2}{25x^3y^3} $

9) Это умножение. Упростим второй множитель.

$ -\frac{15xy}{ny-nx} = -\frac{15xy}{n(y-x)} = -\frac{15xy}{-n(x-y)} = \frac{15xy}{n(x-y)} $

Теперь выполним умножение:

$ \frac{cx - cy}{35x^2y^2} \cdot \frac{15xy}{n(x-y)} $

Разложим на множители числитель первой дроби: $ cx - cy = c(x-y) $.

$ \frac{c(x-y)}{35x^2y^2} \cdot \frac{15xy}{n(x-y)} = \frac{c(x-y) \cdot 15xy}{35x^2y^2 \cdot n(x-y)} $

Сократим общие множители $ (x-y) $, $ x $, $ y $ и коэффициенты $ \frac{15}{35} = \frac{3}{7} $.

$ \frac{15cxy(x-y)}{35nx^2y^2(x-y)} = \frac{3c}{7nxy} $

Ответ: $ \frac{3c}{7nxy} $