Номер 40.5, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (40.4-40.5):

40.5.1) $(x + 3y) : (x^2 - 9y^2);$

2) $\frac{ab^2}{a^2 - 1} : \frac{5b}{a - a^2};$

3) $(a^2 + 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2);$

4) $\frac{x^2 - 4y^2}{xy} : \frac{x^2 - 2xy}{3y};$

5) $\frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} : \frac{a^2 - 9}{a^2 + 5a};$

6) $\frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} : \frac{6m - 6n}{p + m}.$

1) Чтобы выполнить деление, запишем выражение в виде дроби:

$(x + 3y) : (x^2 - 9y^2) = \frac{x + 3y}{x^2 - 9y^2}$

Знаменатель является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$

Подставим разложение в дробь и сократим общий множитель $(x + 3y)$:

$\frac{x + 3y}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{1}{x - 3y}$

Ответ: $\frac{1}{x - 3y}$

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{ab^2}{a^2 - 1} : \frac{5b}{a - a^2} = \frac{ab^2}{a^2 - 1} \cdot \frac{a - a^2}{5b}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

$a - a^2 = a(1 - a) = -a(a - 1)$

Подставим разложения в выражение и сократим общие множители:

$\frac{ab^2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{-a(a - 1)}{5b} = \frac{a \cdot b \cdot b}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{-a(a - 1)}{5b} = \frac{b}{a + 1} \cdot \frac{-a^2}{5} = -\frac{a^2b}{5(a + 1)}$

Ответ: $-\frac{a^2b}{5(a + 1)}$

3) Запишем деление в виде дроби:

$(a^2 + 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2) = \frac{a^2 + 6ab + 9b^2}{a^2 - 9b^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, а знаменатель — разность квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2$

$a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{(a + 3b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)} = \frac{(a + 3b)(a + 3b)}{(a - 3b)(a + 3b)} = \frac{a + 3b}{a - 3b}$

Ответ: $\frac{a + 3b}{a - 3b}$

4) Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{x^2 - 4y^2}{xy} : \frac{x^2 - 2xy}{3y} = \frac{x^2 - 4y^2}{xy} \cdot \frac{3y}{x^2 - 2xy}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$

$x^2 - 2xy = x(x - 2y)$

Подставим разложения в выражение и выполним сокращение:

$\frac{(x - 2y)(x + 2y)}{xy} \cdot \frac{3y}{x(x - 2y)} = \frac{x + 2y}{x} \cdot \frac{3}{x} = \frac{3(x + 2y)}{x^2}$

Ответ: $\frac{3(x + 2y)}{x^2}$

5) Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} : \frac{a^2 - 9}{a^2 + 5a} = \frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} \cdot \frac{a^2 + 5a}{a^2 - 9}$

Разложим все числители и знаменатели на множители:

$a^2 - 3a = a(a - 3)$

$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$

$a^2 + 5a = a(a + 5)$

$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$

Подставим разложения в выражение и сократим общие множители:

$\frac{a(a - 3)}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{a(a + 5)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a}{a - 5} \cdot \frac{a}{a + 3} = \frac{a^2}{(a - 5)(a + 3)}$

Ответ: $\frac{a^2}{(a - 5)(a + 3)}$

6) Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} : \frac{6m - 6n}{p + m} = \frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} \cdot \frac{p + m}{6m - 6n}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$3m^2 - 3n^2 = 3(m^2 - n^2) = 3(m - n)(m + n)$

$m^2 + mp = m(m + p)$

$6m - 6n = 6(m - n)$

Подставим разложения в выражение и сократим:

$\frac{3(m - n)(m + n)}{m(m + p)} \cdot \frac{m + p}{6(m - n)} = \frac{3(m + n)}{m} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3(m + n)}{6m} = \frac{m + n}{2m}$

Ответ: $\frac{m + n}{2m}$