Номер 40.12, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.12. Упростите выражение:

1) $ \frac{n^2 - 10n + 25}{3a + 12} \cdot \frac{a^2 - 16}{2n - 10}; $

2) $ \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10}; $

3) $ \frac{4 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{6 - 3a}; $

4) $ \frac{a^3 + 8}{18a^2 + 27a} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4}. $

1) Чтобы упростить выражение $\frac{n^2 - 10n + 25}{3a + 12} \cdot \frac{a^2 - 16}{2n - 10}$, разложим числители и знаменатели на множители.

Числитель первой дроби: $n^2 - 10n + 25 = (n-5)^2$ (формула квадрата разности).

Знаменатель первой дроби: $3a + 12 = 3(a+4)$ (вынесение общего множителя).

Числитель второй дроби: $a^2 - 16 = (a-4)(a+4)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $2n - 10 = 2(n-5)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения и сократим дробь:

$\frac{(n-5)^2}{3(a+4)} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{2(n-5)} = \frac{(n-5)\cdot(n-5)}{3(a+4)} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{2(n-5)} = \frac{\cancel{(n-5)}\cdot(n-5)}{3\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{(a-4)\cancel{(a+4)}}{2\cancel{(n-5)}} = \frac{(n-5)(a-4)}{6}$.

Ответ: $\frac{(n-5)(a-4)}{6}$.

2) Упростим выражение $\frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10}$.

Разложим на множители:

$y^2 - 25 = (y-5)(y+5)$ (разность квадратов).

$y^2 + 12y + 36 = (y+6)^2$ (квадрат суммы).

$3y + 18 = 3(y+6)$.

$2y + 10 = 2(y+5)$.

Подставим и сократим:

$\frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2} \cdot \frac{3(y+6)}{2(y+5)} = \frac{(y-5)\cancel{(y+5)}}{(y+6)\cancel{^2}} \cdot \frac{3\cancel{(y+6)}}{2\cancel{(y+5)}} = \frac{3(y-5)}{2(y+6)}$.

Ответ: $\frac{3(y-5)}{2(y+6)}$.

3) Упростим выражение $\frac{4 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{6 - 3a}$.

Разложим на множители:

$4 - a^2 = (2-a)(2+a)$ (разность квадратов).

$4a + 8b = 4(a+2b)$.

$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2$ (квадрат суммы).

$6 - 3a = 3(2-a)$.

Подставим и сократим:

$\frac{(2-a)(2+a)}{4(a+2b)} \cdot \frac{(a+2b)^2}{3(2-a)} = \frac{\cancel{(2-a)}(2+a)}{4\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{(a+2b)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(2-a)}} = \frac{(2+a)(a+2b)}{12}$.

Ответ: $\frac{(a+2)(a+2b)}{12}$.

4) Упростим выражение $\frac{a^3 + 8}{18a^2 + 27a} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4}$.

Разложим на множители:

$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$ (сумма кубов).

$18a^2 + 27a = 9a(2a+3)$.

Выражения $2a+3$ и $a^2-2a+4$ (неполный квадрат разности) далее не раскладываются.

Подставим и сократим:

$\frac{(a+2)(a^2-2a+4)}{9a(2a+3)} \cdot \frac{2a+3}{a^2-2a+4} = \frac{(a+2)\cancel{(a^2-2a+4)}}{9a\cancel{(2a+3)}} \cdot \frac{\cancel{2a+3}}{\cancel{a^2-2a+4}} = \frac{a+2}{9a}$.

Ответ: $\frac{a+2}{9a}$.