Номер 40.9, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.9. Возведите в степень выражение:

1) $(\frac{a^3}{c^2})^4$;

2) $(\frac{2a^3}{3b^4})^5$;

3) $(\frac{3x^2 y^4}{4m^3})^2$;

4) $(-\frac{10m^2}{3n^2 p^3})^3$;

5) $(-\frac{5a^3}{3b^2 c^4})^4$;

6) $(-\frac{b^3 c^2}{8a^3})^2$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Это соответствует свойству степеней $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$.

$(\frac{a^3}{c^2})^4 = \frac{(a^3)^4}{(c^2)^4}$

Далее применяем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Показатели степеней перемножаются.

$\frac{a^{3 \cdot 4}}{c^{2 \cdot 4}} = \frac{a^{12}}{c^8}$

Ответ: $\frac{a^{12}}{c^8}$

2) Сначала возводим в пятую степень числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{2a^3}{3b^4})^5 = \frac{(2a^3)^5}{(3b^4)^5}$

Затем возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$\frac{2^5 \cdot (a^3)^5}{3^5 \cdot (b^4)^5}$

Вычисляем степени чисел ($2^5=32$, $3^5=243$) и применяем правило возведения степени в степень:

$\frac{32 \cdot a^{3 \cdot 5}}{243 \cdot b^{4 \cdot 5}} = \frac{32a^{15}}{243b^{20}}$

Ответ: $\frac{32a^{15}}{243b^{20}}$

3) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{3x^2y^4}{4m^3})^2 = \frac{(3x^2y^4)^2}{(4m^3)^2}$

Теперь возводим в квадрат каждый множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^4)^2}{4^2 \cdot (m^3)^2}$

Выполняем вычисления: $3^2=9$, $4^2=16$, и перемножаем показатели степеней для переменных:

$\frac{9 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{4 \cdot 2}}{16 \cdot m^{3 \cdot 2}} = \frac{9x^4y^8}{16m^6}$

Ответ: $\frac{9x^4y^8}{16m^6}$

4) Выражение возводится в нечетную степень (3), поэтому знак минус сохраняется.

$(-\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3 = -(\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3 = - \frac{(10m^2)^3}{(3n^2p^3)^3}$

Возводим в куб каждый множитель:

$- \frac{10^3 \cdot (m^2)^3}{3^3 \cdot (n^2)^3 \cdot (p^3)^3}$

Вычисляем степени чисел ($10^3=1000$, $3^3=27$) и упрощаем степени переменных:

$- \frac{1000 \cdot m^{2 \cdot 3}}{27 \cdot n^{2 \cdot 3} \cdot p^{3 \cdot 3}} = - \frac{1000m^6}{27n^6p^9}$

Ответ: $- \frac{1000m^6}{27n^6p^9}$

5) Выражение возводится в четную степень (4), поэтому знак минус исчезает (результат будет положительным).

$(-\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4 = (\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4 = \frac{(5a^3)^4}{(3b^2c^4)^4}$

Возводим в четвертую степень каждый множитель:

$\frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4}$

Вычисляем степени чисел ($5^4=625$, $3^4=81$) и упрощаем степени переменных:

$\frac{625 \cdot a^{3 \cdot 4}}{81 \cdot b^{2 \cdot 4} \cdot c^{4 \cdot 4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$

Ответ: $\frac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$

6) Выражение возводится в четную степень (2), поэтому знак минус исчезает.

$(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = (\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = \frac{(b^3c^2)^2}{(8a^3)^2}$

Возводим в квадрат каждый множитель:

$\frac{(b^3)^2 \cdot (c^2)^2}{8^2 \cdot (a^3)^2}$

Вычисляем степень числа ($8^2=64$) и упрощаем степени переменных:

$\frac{b^{3 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 2}}{64 \cdot a^{3 \cdot 2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}$

Ответ: $\frac{b^6c^4}{64a^6}$