Номер 40.13, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.13. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{8x^2 - 8x}{x+3} : (2x-2) \cdot x $, если $ x = 2,5; -3,4; $

2) $ (3a-6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a-2b} $, если $ a = 2,6; b = -1,2. $

1) Сначала упростим данное выражение: $\frac{8x^2 - 8x}{x+3} : (2x-2) \cdot x$.

Действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо. Сначала выполним деление, а затем умножение. Запишем выражение, заменяя деление на умножение на обратную дробь, и разложим на множители числитель и делитель:

$\frac{8x^2 - 8x}{x+3} \cdot \frac{1}{2x-2} \cdot x = \frac{8x(x-1)}{x+3} \cdot \frac{1}{2(x-1)} \cdot x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели дробей и делитель не равны нулю. Это приводит к следующим ограничениям: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $2x-2 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Сократим общие множители $(x-1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{8x\cancel{(x-1)}}{x+3} \cdot \frac{1}{2\cancel{(x-1)}} \cdot x = \frac{8x \cdot x}{2(x+3)} = \frac{8x^2}{2(x+3)}$

Сократим числовой коэффициент:

$\frac{4x^2}{x+3}$

Теперь подставим заданные значения $x$ в упрощенное выражение.

При $x = 2,5$ (значение входит в ОДЗ):

$\frac{4 \cdot (2,5)^2}{2,5 + 3} = \frac{4 \cdot 6,25}{5,5} = \frac{25}{5,5} = \frac{250}{55} = \frac{50}{11}$

При $x = -3,4$ (значение входит в ОДЗ):

$\frac{4 \cdot (-3,4)^2}{-3,4 + 3} = \frac{4 \cdot 11,56}{-0,4} = \frac{46,24}{-0,4} = -115,6$

Ответ: при $x = 2,5$ значение равно $\frac{50}{11}$; при $x = -3,4$ значение равно $-115,6$.

2) Сначала упростим данное выражение: $(3a-6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a-2b}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$(3a-6b) \cdot \frac{a-2b}{2a^2 - 8b^2}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели. В первом выражении вынесем за скобки 3, а в знаменателе второго выражения вынесем 2 и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$3(a-2b) \cdot \frac{a-2b}{2(a^2-4b^2)} = 3(a-2b) \cdot \frac{a-2b}{2(a-2b)(a+2b)}$

Область допустимых значений (ОДЗ) требует, чтобы знаменатели не были равны нулю: $a-2b \neq 0$ и $2(a-2b)(a+2b) \neq 0$. Это означает, что $a-2b \neq 0$ и $a+2b \neq 0$.

Сократим общий множитель $(a-2b)$:

$\frac{3(a-2b)(a-2b)}{2(a-2b)(a+2b)} = \frac{3(a-2b)}{2(a+2b)}$

Теперь подставим заданные значения $a=2,6$ и $b=-1,2$.

Сначала проверим, входят ли значения в ОДЗ:

$a-2b = 2,6 - 2(-1,2) = 2,6 + 2,4 = 5 \neq 0$

$a+2b = 2,6 + 2(-1,2) = 2,6 - 2,4 = 0,2 \neq 0$

Значения допустимы. Теперь вычислим значение выражения, подставив найденные значения скобок:

$\frac{3(a-2b)}{2(a+2b)} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 0,2} = \frac{15}{0,4} = \frac{150}{4} = 37,5$

Ответ: $37,5$.