Вопрос критерии успеха, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнять преобразования алгебраических выражений?

Преобразование алгебраических выражений — это процесс их изменения в более простую или удобную для дальнейшей работы форму с помощью тождественных преобразований. Целью является упрощение выражения, решение уравнений, доказательство тождеств и т.д. В основе преобразований лежат основные свойства действий над числами и многочленами.

1. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Это базовые и наиболее часто используемые операции. Раскрытие скобок выполняется с помощью распределительного закона умножения: $a(b+c) = ab + ac$. Если перед скобкой стоит знак «минус», все знаки внутри скобок меняются на противоположные: $-(a-b+c) = -a+b-c$.

Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Чтобы их привести, нужно сложить их коэффициенты и умножить результат на общую буквенную часть.

Пример: Упростить выражение $5(a+3b) - 2(4a - b)$.

Решение:

1. Раскроем скобки, умножая число перед каждой скобкой на каждое слагаемое внутри нее:

$5 \cdot a + 5 \cdot 3b - 2 \cdot 4a - 2 \cdot (-b) = 5a + 15b - 8a + 2b$.

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (те, что содержат $a$, и те, что содержат $b$):

$(5a - 8a) + (15b + 2b) = -3a + 17b$.

Ответ: $-3a + 17b$

2. Применение формул сокращенного умножения

Эти формулы позволяют быстро раскрывать скобки или раскладывать на множители некоторые стандартные выражения. Основные формулы:

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Пример: Упростить выражение $(x-4)^2 + (x-2)(x+2)$.

Решение:

1. К первой скобке применяем формулу квадрата разности: $(x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

2. Ко второй части выражения применяем формулу разности квадратов: $(x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

3. Складываем полученные результаты: $(x^2 - 8x + 16) + (x^2 - 4) = x^2 - 8x + 16 + x^2 - 4$.

4. Приводим подобные слагаемые: $(x^2+x^2) - 8x + (16-4) = 2x^2 - 8x + 12$.

Ответ: $2x^2 - 8x + 12$

3. Разложение на множители

Это представление выражения в виде произведения нескольких множителей (многочленов или одночленов). Основные методы:

а) Вынесение общего множителя за скобки. Находится общий делитель для всех членов выражения и выносится за скобки.

б) Метод группировки. Слагаемые объединяются в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп.

в) Использование формул сокращенного умножения (в обратном порядке).

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 12xy + 6x$.

Решение:

1. Найдем общий множитель для всех членов. Коэффициенты 3, -12, 6 делятся на 3. Переменная $x$ входит в каждый член в степени не ниже первой. Значит, общий множитель — $3x$.

2. Вынесем $3x$ за скобки. Для этого каждый член исходного выражения разделим на $3x$:

$3x( \frac{3x^2}{3x} - \frac{12xy}{3x} + \frac{6x}{3x} ) = 3x(x - 4y + 2)$.

Ответ: $3x(x - 4y + 2)$

4. Преобразование алгебраических дробей

Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями.

а) Сокращение дробей. Числитель и знаменатель раскладываются на множители, после чего общие множители сокращаются.

б) Сложение и вычитание. Дроби приводятся к общему знаменателю, после чего складываются или вычитаются их числители.

в) Умножение и деление. При умножении числители и знаменатели перемножаются. При делении первая дробь умножается на перевернутую вторую.

Пример: Упростить выражение $(\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b}) : \frac{a^2+b^2}{a-b}$.

Решение:

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{a(a+b) - b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - ba + b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на перевернутую дробь:

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} : \frac{a^2+b^2}{a-b} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{a^2+b^2}$.

3. Сократим одинаковые множители $(a^2+b^2)$ в числителе и знаменателе. Также разложим знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{1}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{1} = \frac{a-b}{(a-b)(a+b)}$.

4. Сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{1}{a+b}$.

Ответ: $\frac{1}{a+b}$