Номер 41.5, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (41.5-41.6):

41.5. 1) $\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}$ при 1) $a = 2$; 2) $a = -4$;

2) $\frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}$ при 1) $x = -1$; 2) $x = -2,5$.

1) Сначала упростим данное выражение: $\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}$.

Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$

$a^2 + 5a = a(a+5)$

$a^2 - 3a = a(a-3)$

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{(a-5)(a+5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a+5)} - \frac{a + 5}{a(a-3)}$

В первом слагаемом сократим $(a+5)$ при условии, что $a \neq -5$:

$\frac{a-5}{a+3} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{a-5}{a(a+3)} - \frac{a+5}{a(a-3)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $a(a+3)(a-3)$:

$\frac{(a-5)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} - \frac{(a+5)(a+3)}{a(a-3)(a+3)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(a-5)(a-3) - (a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)} = \frac{(a^2 - 3a - 5a + 15) - (a^2 + 3a + 5a + 15)}{a(a+3)(a-3)}$

$\frac{(a^2 - 8a + 15) - (a^2 + 8a + 15)}{a(a+3)(a-3)} = \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a^2-9)} = \frac{-16a}{a(a^2-9)}$

Сократим на $a$ (при $a \neq 0$):

$\frac{-16}{a^2-9} = \frac{16}{9-a^2}$

Теперь найдем значения выражения при заданных $a$.

при 1) $a = 2$:

$\frac{16}{9 - 2^2} = \frac{16}{9 - 4} = \frac{16}{5} = 3.2$

при 2) $a = -4$:

$\frac{16}{9 - (-4)^2} = \frac{16}{9 - 16} = \frac{16}{-7} = -\frac{16}{7}$

Ответ: 1) $3.2$; 2) $-\frac{16}{7}$.

2) Сначала упростим данное выражение: $\frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}$.

Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2} = \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} \cdot \frac{4x + 2}{x + 3}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$x^2 + 3x = x(x+3)$

$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)$

$4x + 2 = 2(2x+1)$

Подставим разложенные выражения:

$\frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{2(2x+1)}{x+3}$

Сократим общие множители $(x+3)$ и $(2x+1)$ (при $x \neq -3$ и $x \neq -0.5$):

$\frac{x}{(2x-1)} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2x}{2x-1}$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$\frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{2x}{2x-1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x+1)(2x-1) = 4x^2 - 1$:

$\frac{(1-2x)(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} + \frac{2x(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)}$

Вынесем $-1$ из первой скобки в числителе: $1-2x = -(2x-1)$

$\frac{-(2x-1)(2x-1) + 2x(2x+1)}{4x^2-1} = \frac{-(2x-1)^2 + 2x(2x+1)}{4x^2-1}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{-(4x^2 - 4x + 1) + 4x^2 + 2x}{4x^2-1} = \frac{-4x^2 + 4x - 1 + 4x^2 + 2x}{4x^2-1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6x-1}{4x^2-1}$

Теперь найдем значения выражения при заданных $x$.

при 1) $x = -1$:

$\frac{6(-1)-1}{4(-1)^2-1} = \frac{-6-1}{4(1)-1} = \frac{-7}{4-1} = -\frac{7}{3}$

при 2) $x = -2.5 = -5/2$:

$\frac{6(-5/2)-1}{4(-5/2)^2-1} = \frac{-15-1}{4(25/4)-1} = \frac{-16}{25-1} = \frac{-16}{24} = -\frac{2}{3}$

Ответ: 1) $-\frac{7}{3}$; 2) $-\frac{2}{3}$.