Номер 41.9, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.9. Докажите, что верно равенство:

1) $\frac{x^3}{x^2 - 4} + \frac{x}{x+2} - x = \frac{x}{x-2}$;

2) $\frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} - \frac{6}{(a+1)^2} = - \frac{1}{(a+1)^2}$.

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Общий знаменатель для всех слагаемых — это $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

$\frac{x^3}{x^2 - 4} + \frac{x}{x + 2} - x = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)} + \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{x(x^2-4)}{x^2-4}$

Теперь сложим и вычтем дроби, объединив их числители над общим знаменателем:

$\frac{x^3 + x(x-2) - x(x^2-4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^3 + x^2 - 2x - x^3 + 4x}{(x-2)(x+2)}$

Упростим числитель, приводя подобные слагаемые:

$\frac{(x^3 - x^3) + x^2 + (-2x + 4x)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 + 2x}{(x-2)(x+2)}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$ (при условии, что $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$):

$\frac{x}{x-2}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Начнем с разложения на множители знаменателя первой дроби $a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2$. Сгруппируем слагаемые:

$(a^4 + 2a^3 + a^2) - (2a^2 + 4a + 2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(a^2 + 2a + 1) - 2(a^2 + 2a + 1)$

Используя формулу квадрата суммы $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$, получаем:

$a^2(a+1)^2 - 2(a+1)^2$

Теперь вынесем общий множитель $(a+1)^2$:

$(a^2-2)(a+1)^2$

Подставим полученное выражение в знаменатель первой дроби в левой части исходного равенства:

$\frac{5a^2 - 10}{(a^2-2)(a+1)^2} - \frac{6}{(a+1)^2}$

Вынесем в числителе первой дроби общий множитель 5:

$\frac{5(a^2 - 2)}{(a^2-2)(a+1)^2} - \frac{6}{(a+1)^2}$

Сократим первую дробь на общий множитель $(a^2 - 2)$ (при условии, что $a^2 - 2 \neq 0$):

$\frac{5}{(a+1)^2} - \frac{6}{(a+1)^2}$

Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5-6}{(a+1)^2} = \frac{-1}{(a+1)^2} = -\frac{1}{(a+1)^2}$

Результат преобразований левой части совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.