Номер 41.15, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.15. Убедитесь, что значение выражения не зависит от допустимых значений переменной:

1) $\frac{(x - 2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x - 2} \cdot \frac{-x}{2 - x}$;

2) $\frac{(3x + 2)^3}{x - 3} : \frac{3x + 2}{(x - 3)^2} \cdot \frac{5}{(x - 3)(3x + 2)^2}$

1) Упростим выражение $ \frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{-x}{2-x} $.

Область допустимых значений переменной определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:

$3x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$

Таким образом, $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Преобразуем третий множитель, вынеся знак минус из знаменателя:

$ \frac{-x}{2-x} = \frac{-x}{-(x-2)} = \frac{x}{x-2} $

Подставим преобразованную дробь в исходное выражение:

$ \frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{x}{x-2} $

Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$ \frac{(x-2)^2 \cdot 4x^3 \cdot x}{3x^4 \cdot (x-2) \cdot (x-2)} = \frac{4x^4 (x-2)^2}{3x^4 (x-2)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $x^4(x-2)^2$, что возможно в области допустимых значений:

$ \frac{4\cancel{x^4}\cancel{(x-2)^2}}{3\cancel{x^4}\cancel{(x-2)^2}} = \frac{4}{3} $

Полученное значение является константой и не зависит от переменной $x$.

Ответ: $ \frac{4}{3} $.

2) Упростим выражение $ \frac{(3x+2)^3}{x-3} : \frac{(3x+2)}{(x-3)^2} \cdot \frac{5}{(x-3)(3x+2)^2} $.

Область допустимых значений переменной определяется из условий, что все знаменатели не равны нулю, а также делитель не равен нулю:

$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$3x+2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$ (так как это выражение появляется в знаменателе делителя и в знаменателе третьего множителя).

Таким образом, $x \neq 3$ и $x \neq -\frac{2}{3}$.

Выполняем действия в порядке их следования слева направо. Сначала выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$ \frac{(3x+2)^3}{x-3} : \frac{(3x+2)}{(x-3)^2} = \frac{(3x+2)^3}{x-3} \cdot \frac{(x-3)^2}{3x+2} $

Сократим общие множители:

$ \frac{(3x+2)^{\cancel{3}^2}}{\cancel{x-3}} \cdot \frac{\cancel{(x-3)^2}^{x-3}}{\cancel{3x+2}} = (3x+2)^2 (x-3) $

Теперь результат умножим на оставшуюся дробь:

$ (3x+2)^2 (x-3) \cdot \frac{5}{(x-3)(3x+2)^2} = \frac{5(3x+2)^2 (x-3)}{(x-3)(3x+2)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $(x-3)(3x+2)^2$, что возможно в области допустимых значений:

$ \frac{5\cancel{(3x+2)^2}\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}\cancel{(3x+2)^2}} = 5 $

Полученное значение является константой и не зависит от переменной $x$.

Ответ: 5.