Номер 41.16, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.16. Докажите, что верно равенство:

1) $\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x+q} \cdot \left(\frac{x}{q} - \frac{q}{x}\right) = \frac{1}{q}$;

2) $\frac{1,2a^2 - ac}{0,36a^2 - 0,25c^2} = \frac{20a}{6a + 5c}$.

1) Чтобы доказать равенство, мы преобразуем левую часть выражения до вида правой части.

Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $qx$: $\frac{x}{q} - \frac{q}{x} = \frac{x \cdot x}{qx} - \frac{q \cdot q}{qx} = \frac{x^2 - q^2}{qx}$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного равенства: $\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x + q} \cdot \frac{x^2 - q^2}{qx}$.

Разложим числитель $x^2 - q^2$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и произведем умножение дробей: $\frac{1}{x + q} \cdot \frac{(x - q)(x + q)}{qx} = \frac{x - q}{qx}$.

Теперь всё выражение имеет вид: $\frac{2x - q}{xq} - \frac{x - q}{xq}$.

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей: $\frac{(2x - q) - (x - q)}{xq} = \frac{2x - q - x + q}{xq} = \frac{x}{xq}$.

Сократим полученную дробь на $x$ (при $x \ne 0$): $\frac{x}{xq} = \frac{1}{q}$.

Мы преобразовали левую часть равенства к правой. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть.

Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100: $\frac{1,2a^2 - ac}{0,36a^2 - 0,25c^2} = \frac{100 \cdot (1,2a^2 - ac)}{100 \cdot (0,36a^2 - 0,25c^2)} = \frac{120a^2 - 100ac}{36a^2 - 25c^2}$.

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $20a$: $120a^2 - 100ac = 20a(6a - 5c)$.

Знаменатель является разностью квадратов: $36a^2 - 25c^2 = (6a)^2 - (5c)^2$. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(6a)^2 - (5c)^2 = (6a - 5c)(6a + 5c)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{20a(6a - 5c)}{(6a - 5c)(6a + 5c)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(6a - 5c)$ (при условии, что $6a - 5c \ne 0$): $\frac{20a}{6a + 5c}$.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.