Номер 41.13, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.13. Сравните значения выражений $ \left(a - \frac{4ab}{a+b} + b\right) : (a - b) $ и $ \frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a} = \frac{2ab}{a^2 - b^2} $ при $a=3, b=-4$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, мы сначала упростим каждое из них, а затем подставим заданные значения $a = 3$ и $b = -4$. Упрощение в общем виде позволит нам увидеть, являются ли выражения тождественно равными.

$(a - \frac{4ab}{a+b} + b) : (a - b)$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Сгруппируем $a$ и $b$ и приведем к общему знаменателю $(a+b)$:

$a - \frac{4ab}{a+b} + b = (a+b) - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{a+b}$

2. Раскроем скобки в числителе и упростим его, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$

3. Полученный числитель является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{(a-b)^2}{a+b}$

4. Теперь выполним деление на $(a-b)$, что равносильно умножению на $\frac{1}{a-b}$:

$\frac{(a-b)^2}{a+b} : (a-b) = \frac{(a-b)^2}{a+b} \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{a-b}{a+b}$

5. Подставим значения $a = 3$ и $b = -4$ в упрощенное выражение:

$\frac{3 - (-4)}{3 + (-4)} = \frac{3+4}{3-4} = \frac{7}{-1} = -7$.

$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a} - \frac{2ab}{a^2-b^2}$

1. Упростим выражение. Заметим, что $b-a = -(a-b)$ и $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ (формула разности квадратов). Преобразуем вторую и третью дроби:

$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{-(a-b)} - \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} - \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$

3. Запишем все под одной чертой дроби и упростим числитель:

$\frac{a(a-b) + b(a+b) - 2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - ab + ab + b^2 - 2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a-b)(a+b)}$

4. Числитель является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Сократим дробь:

$\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}$

5. Подставим значения $a = 3$ и $b = -4$ в упрощенное выражение:

$\frac{3 - (-4)}{3 + (-4)} = \frac{3+4}{3-4} = \frac{7}{-1} = -7$.

Вычислив значения обоих выражений, мы получили -7 в обоих случаях. Это подтверждает, что выражения не только равны при заданных значениях $a$ и $b$, но и тождественно равны (упрощаются до одного и того же вида $\frac{a-b}{a+b}$).

Ответ: значения выражений равны.