Номер 41.19, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.19. Упростите выражение:

1) $(\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}) : (\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2});$

2) $\frac{4xy}{y^2-x^2} : (\frac{1}{y^2-x^2} + \frac{1}{x^2+2xy+y^2});$

3) $(\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}) : (\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a});$

4) $(\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2}) : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2};$

5) $\frac{4,5a+4x}{0,81a^2-0,64x^2} - \frac{50}{9a-8x} + \frac{1}{ax};$

1) Выполним действия по порядку.

Действие в первых скобках:

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an} = \frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2(a+n) - a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^3+a^2n-a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2n}{(a+n)^2}$.

Действие во вторых скобках:

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2} = \frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a(a-n)-a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2-an-a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{-an}{(a-n)(a+n)}$.

Деление:

$\frac{a^2n}{(a+n)^2} : \frac{-an}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} \cdot \frac{(a-n)(a+n)}{-an} = \frac{a(a-n)}{-(a+n)} = \frac{a(n-a)}{a+n}$.

Ответ: $\frac{a(n-a)}{a+n}$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, разложив знаменатели на множители:

$\frac{1}{y^2-x^2} + \frac{1}{x^2+2xy+y^2} = \frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(y+x)^2} = \frac{1 \cdot (y+x) + 1 \cdot (y-x)}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y} = \frac{4xy(y-x)(y+x)^2}{2y(y-x)(y+x)} = 2x(y+x)$.

Ответ: $2x(y+x)$.

3) Выполним действия по порядку.

Действие в первых скобках, используя формулу квадрата суммы:

$\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2} = \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2a(2a+b)-4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2+2ab-4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2}$.

Действие во вторых скобках, используя формулу разности квадратов и свойство дроби:

$\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} = \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1}{2a-b} = \frac{2a-(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a-2a-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$.

Деление:

$\frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b} = \frac{2a(2a-b)}{-(2a+b)} = \frac{2a(b-2a)}{2a+b}$.

Ответ: $\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$.

4) Выполним действия по порядку.

Действие в скобках:

$\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2} = \frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{(x-2y)(x-2y) - 1 \cdot x}{x(x-2y)(x+2y)} = \frac{(x-2y)^2-x}{x(x-2y)(x+2y)}$.

Деление, учитывая, что $(2y-x)^2=(x-2y)^2$:

$\frac{(x-2y)^2-x}{x(x-2y)(x+2y)} : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} = \frac{(x-2y)^2-x}{x(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{((x-2y)^2-x)(x-2y)}{x(x+2y)^2}$.

Умножение:

$\frac{((x-2y)^2-x)(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{((x-2y)^2-x)(x-2y)}{4xy^2}$.

Ответ: $\frac{((x-2y)^2-x)(x-2y)}{4xy^2}$.

5) Преобразуем первую дробь в выражении.

Знаменатель первой дроби: $0,81a^2 - 0,64x^2 = (0,9a)^2 - (0,8x)^2 = (0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)$.

Числитель первой дроби: $4,5a + 4x = 5(0,9a + 0,8x)$.

Подставим в первую дробь и сократим:

$\frac{4,5a+4x}{0,81a^2-0,64x^2} = \frac{5(0,9a+0,8x)}{(0,9a-0,8x)(0,9a+0,8x)} = \frac{5}{0,9a-0,8x}$.

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\frac{5 \cdot 10}{10(0,9a-0,8x)} = \frac{50}{9a-8x}$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$\frac{50}{9a-8x} - \frac{50}{9a-8x} + \frac{1}{ax} = 0 + \frac{1}{ax} = \frac{1}{ax}$.

Ответ: $\frac{1}{ax}$.