Номер 41.24, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.24. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных от a и c не зависит значение выражения:

1) $\left(\frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2}\right) \cdot \left(c + \frac{a^2}{a+c}\right);$

2) $3a \cdot \left(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right) - \frac{3c^2}{a^2-c^2}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $c$, необходимо его упростить, выполнив действия в определенном порядке.

Сначала упростим выражение в первой скобке: $\frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2}$.

Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Используем формулу разности кубов $a^3 - c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$, который и будет общим знаменателем.

$\frac{1 \cdot (a^2+ac+c^2)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} - \frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} - \frac{c \cdot (a-c)}{(a^2+ac+c^2)(a-c)} = \frac{a^2+ac+c^2 - 3c^2 - c(a-c)}{a^3-c^3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2+ac+c^2 - 3c^2 - ac+c^2}{a^3-c^3} = \frac{a^2 + (ac-ac) + (c^2-3c^2+c^2)}{a^3-c^3} = \frac{a^2-c^2}{a^3-c^3}$

Разложим числитель и знаменатель на множители по формулам разности квадратов и разности кубов, а затем сократим дробь:

$\frac{(a-c)(a+c)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} = \frac{a+c}{a^2+ac+c^2}$ (при условии, что $a \neq c$).

Теперь упростим выражение во второй скобке: $c + \frac{a^2}{a+c}$.

Приведем к общему знаменателю $a+c$:

$c + \frac{a^2}{a+c} = \frac{c(a+c)}{a+c} + \frac{a^2}{a+c} = \frac{ac+c^2+a^2}{a+c} = \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}$.

Наконец, перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$\left(\frac{a+c}{a^2+ac+c^2}\right) \cdot \left(\frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right) = 1$.

При умножении дробей числитель первой дроби сокращается со знаменателем второй, а знаменатель первой дроби — с числителем второй. В результате получается 1. Это значение является константой и не зависит от $a$ и $c$. Допустимыми являются все значения переменных, при которых знаменатели не обращаются в ноль: $a \neq c$ и $a \neq -c$.

Ответ: 1.

2) Упростим данное выражение $3a \cdot \left(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right) - \frac{3c^2}{a^2-c^2}$.

Выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках. Начнем с умножения дробей внутри скобок.

$\frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a+c)}$, сократив на общий множитель $a^2+ac+c^2$.

Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{1}{a-c} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{1 \cdot (a+c)}{(a-c)(a+c)} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a}{(a-c)(a+c)}$.

Используя формулу разности квадратов, знаменатель можно записать как $a^2-c^2$. Выражение в скобках равно $\frac{a}{a^2-c^2}$.

Теперь умножим результат на множитель перед скобкой, $3a$:

$3a \cdot \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{3a^2}{a^2-c^2}$.

В последнем действии вычтем оставшуюся дробь:

$\frac{3a^2}{a^2-c^2} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}$.

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2} = 3$.

Полученное значение 3 является постоянным и не зависит от значений переменных $a$ и $c$. Допустимые значения: $a \neq c$ и $a \neq -c$.

Ответ: 3.