Номер 41.26, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.26. Упростите выражение:

1) $\frac{3 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{2}{x}}$

2) $\frac{\frac{5n - b}{b} + 1}{\frac{15n + b}{b} - 1}$

3) $\frac{\frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2}}$

4) $\frac{\frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c}}{\frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac}} + \frac{1}{12}$

1) Чтобы упростить данное выражение, приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби, а затем выполним деление дробей.

Числитель: $3 - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} - \frac{2}{x} = \frac{3x - 2}{x}$.

Знаменатель: $3 + \frac{2}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3x + 2}{x}$.

Теперь разделим полученные выражения:

$\frac{\frac{3x - 2}{x}}{\frac{3x + 2}{x}} = \frac{3x - 2}{x} \cdot \frac{x}{3x + 2} = \frac{3x - 2}{3x + 2}$.

Ответ: $\frac{3x - 2}{3x + 2}$.

2) Сначала упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя слагаемые к общему знаменателю.

Выражение в числителе: $\frac{5n - b}{b} + 1 = \frac{5n - b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{5n - b + b}{b} = \frac{5n}{b}$.

Выражение в знаменателе: $\frac{15n + b}{b} - 1 = \frac{15n + b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{15n + b - b}{b} = \frac{15n}{b}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{5n}{b}}{\frac{15n}{b}} = \frac{5n}{b} \cdot \frac{b}{15n} = \frac{5n}{15n} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) Для упрощения этой многоэтажной дроби можно домножить ее числитель и знаменатель на общий знаменатель всех малых дробей, то есть на $x^2y^2$.

$\frac{\frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2}} = \frac{(\frac{2x}{y^2} + \frac{y}{x^2}) \cdot x^2y^2}{(\frac{x}{y^2} - \frac{2y}{x^2}) \cdot x^2y^2} = \frac{\frac{2x}{y^2} \cdot x^2y^2 + \frac{y}{x^2} \cdot x^2y^2}{\frac{x}{y^2} \cdot x^2y^2 - \frac{2y}{x^2} \cdot x^2y^2}$.

После сокращения в каждом члене получаем:

$\frac{2x \cdot x^2 + y \cdot y^2}{x \cdot x^2 - 2y \cdot y^2} = \frac{2x^3 + y^3}{x^3 - 2y^3}$.

Ответ: $\frac{2x^3 + y^3}{x^3 - 2y^3}$.

4) Упростим сначала сложную дробь. Для этого приведем к общему знаменателю выражения в ее числителе и знаменателе.

Числитель сложной дроби: $\frac{11}{a} + \frac{11}{b} + \frac{11}{c} = 11(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 11(\frac{bc + ac + ab}{abc}) = \frac{11(ab+bc+ac)}{abc}$.

Знаменатель сложной дроби: $\frac{12}{ab} + \frac{12}{bc} + \frac{12}{ac} = 12(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) = 12(\frac{c + a + b}{abc}) = \frac{12(a+b+c)}{abc}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{11(ab+bc+ac)}{abc}}{\frac{12(a+b+c)}{abc}} = \frac{11(ab+bc+ac)}{abc} \cdot \frac{abc}{12(a+b+c)} = \frac{11(ab+bc+ac)}{12(a+b+c)}$.

Теперь добавим оставшийся член выражения:

$\frac{11(ab+bc+ac)}{12(a+b+c)} + \frac{1}{12}$.

Это выражение является конечным упрощенным видом, так как дальнейшие алгебраические сокращения невозможны без дополнительных условий на переменные $a, b, c$.

Ответ: $\frac{11(ab+bc+ac)}{12(a+b+c)} + \frac{1}{12}$.