Номер 41.25, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.25. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения:

1) $\left(\frac{2xb}{x^2 - b^2} + \frac{x - b}{2x + 2b}\right) \cdot \frac{2x}{x + b} + \frac{b}{b - x}$;

2) $\frac{y}{y - x} + \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right)$ неотрицательно и не зависит от значения переменных.

1) Для доказательства упростим данное выражение по действиям.

Первое действие — сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$ \left(\frac{2xb}{x^2 - b^2} + \frac{x - b}{2x + 2b}\right) = \left(\frac{2xb}{(x - b)(x + b)} + \frac{x - b}{2(x + b)}\right) $

Общий знаменатель — $2(x - b)(x + b)$.

$ \frac{2xb \cdot 2 + (x - b)(x - b)}{2(x - b)(x + b)} = \frac{4xb + (x - b)^2}{2(x - b)(x + b)} = \frac{4xb + x^2 - 2xb + b^2}{2(x - b)(x + b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе и применим формулу квадрата суммы.

$ \frac{x^2 + 2xb + b^2}{2(x - b)(x + b)} = \frac{(x + b)^2}{2(x - b)(x + b)} $

Сократим дробь на $(x+b)$, так как при допустимых значениях переменных $x+b \ne 0$.

$ \frac{x + b}{2(x - b)} $

Второе действие — умножение.

$ \frac{x + b}{2(x - b)} \cdot \frac{2x}{x + b} = \frac{(x + b) \cdot 2x}{2(x - b)(x + b)} $

Сократим дробь на $2(x + b)$.

$ = \frac{x}{x - b} $

Третье действие — сложение.

$ \frac{x}{x - b} + \frac{b}{b - x} $

Поскольку $b - x = -(x - b)$, изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе.

$ \frac{x}{x - b} - \frac{b}{x - b} = \frac{x - b}{x - b} $

Так как при допустимых значениях переменных $x \ne b$, то $x-b \ne 0$.

$ \frac{x - b}{x - b} = 1 $

В результате упрощения мы получили 1. Число 1 является неотрицательным и не зависит от значений переменных $x$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

2) Упростим выражение, соблюдая принятый порядок действий: сначала умножение, затем сложение.

Первое действие — выражение в скобках, которое является одним из множителей.

$ \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} = \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{(x - y)(x + y)} $

Общий знаменатель равен $(x - y)^2(x + y)$.

$ = \frac{x(x + y) - y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + xy - xy + y^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)} $

Второе действие — умножение.

$ \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)} $

Разложим числитель первой дроби на множители: $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$.

$ = \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)} $

Сократим общие множители $(x^2 + y^2)$, $(x+y)$ и $(x-y)$. Это возможно, так как при допустимых значениях переменных они не равны нулю.

$ = \frac{x}{x - y} $

Третье действие — сложение с первым слагаемым исходного выражения.

$ \frac{y}{y - x} + \frac{x}{x - y} $

Поскольку $y - x = -(x - y)$, получаем:

$ -\frac{y}{x - y} + \frac{x}{x - y} = \frac{-y + x}{x - y} = \frac{x - y}{x - y} $

При допустимых значениях переменных $x \ne y$, поэтому $x-y \ne 0$.

$ \frac{x - y}{x - y} = 1 $

В результате упрощения мы получили 1. Число 1 является неотрицательным и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.