Номер 41.20, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.20. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{x + 2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{3x - 3}{x^2 - 4} - \frac{3}{x - 2}$ при $x = -1,5;$

2) $\left( \frac{y^2 - 3y}{y^2 - 6y + 9} - \frac{3y + 9}{y^2 - 9} \right) \cdot \left( 1 - \frac{3}{y} \right)$ при $y = -3,6.$

1) Сначала упростим данное выражение: $ \frac{x + 2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{3x - 3}{x^2 - 4} - \frac{3}{x - 2} $.

Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители. Используем формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$3x - 3 = 3(x - 1)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим разложенные на множители выражения в первую часть исходного выражения и выполним умножение, сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе (при $x \ne 1$ и $x \ne -2$):

$ \frac{x + 2}{(x - 1)^2} \cdot \frac{3(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x-1} \cdot \frac{3}{x-2} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} $.

Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 2)$:

$ \frac{3}{(x - 1)(x - 2)} - \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{(x - 1)(x - 2)} - \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{3 - 3(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} $.

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ \frac{3 - 3x + 3}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{6 - 3x}{(x - 1)(x - 2)} $.

Вынесем в числителе общий множитель -3 за скобки:

$ \frac{-3(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} $.

Сократим дробь на $(x - 2)$ (при $x \ne 2$):

$ \frac{-3}{x - 1} $.

Теперь подставим значение $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$ \frac{-3}{-1,5 - 1} = \frac{-3}{-2,5} = \frac{3}{2,5} = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} = 1,2 $.

Ответ: 1,2.

2) Сначала упростим выражение: $ \left( \frac{y^2 - 3y}{y^2 - 6y + 9} - \frac{3y + 9}{y^2 - 9} \right) \cdot \left( 1 - \frac{3}{y} \right) $.

Преобразуем поочередно каждую часть выражения. Сначала выполним действия в первых скобках. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители:

$ \frac{y^2 - 3y}{y^2 - 6y + 9} = \frac{y(y - 3)}{(y - 3)^2} = \frac{y}{y - 3} $.

$ \frac{3y + 9}{y^2 - 9} = \frac{3(y + 3)}{(y - 3)(y + 3)} = \frac{3}{y - 3} $.

Теперь выполним вычитание в первых скобках:

$ \frac{y}{y - 3} - \frac{3}{y - 3} = \frac{y - 3}{y - 3} = 1 $ (при условии, что $y \ne 3$).

Далее преобразуем выражение во вторых скобках:

$ 1 - \frac{3}{y} = \frac{y}{y} - \frac{3}{y} = \frac{y - 3}{y} $.

Теперь выполним умножение результатов преобразования обеих скобок:

$ 1 \cdot \frac{y - 3}{y} = \frac{y - 3}{y} $.

Подставим значение $y = -3,6$ в упрощенное выражение:

$ \frac{-3,6 - 3}{-3,6} = \frac{-6,6}{-3,6} = \frac{6,6}{3,6} = \frac{66}{36} $.

Сократим полученную дробь на 6:

$ \frac{66 \div 6}{36 \div 6} = \frac{11}{6} $.

Ответ: $ \frac{11}{6} $.