Номер 41.14, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.14. Докажите, что верно равенство:

1) $\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a} = \frac{16}{9 - a^2}$

2) $\frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2} = -\frac{c}{a}$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним умножение дробей.

$\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} = \frac{(a-5)(a+5)}{a+3} \cdot \frac{1}{a(a+5)}$

Сократив на $(a+5)$, получим:

$\frac{a-5}{a(a+3)}$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{a-5}{a(a+3)} - \frac{a+5}{a^2-3a} = \frac{a-5}{a(a+3)} - \frac{a+5}{a(a-3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+3)(a-3)$:

$\frac{(a-5)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} - \frac{(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}$

Выполним вычитание дробей, записав числители под общей чертой:

$\frac{(a-5)(a-3) - (a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a^2-3a-5a+15) - (a^2+3a+5a+15)}{a(a^2-9)} = \frac{(a^2-8a+15) - (a^2+8a+15)}{a(a^2-9)}$

$\frac{a^2-8a+15-a^2-8a-15}{a(a^2-9)} = \frac{-16a}{a(a^2-9)}$

Сократим дробь на $a$ (при $a \neq 0$):

$\frac{-16}{a^2-9}$

Изменим знак в знаменателе, вынеся минус, и сократим его с минусом в числителе:

$\frac{-16}{-(9-a^2)} = \frac{16}{9-a^2}$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим произведение дробей.

$\frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{b(a-b)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a-c)$:

$\frac{b(a+c)}{a(a+b)}$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим результат:

$\frac{b-c}{a+b} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+b)$:

$\frac{a(b-c)}{a(a+b)} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)}$

Запишем разность числителей под общим знаменателем:

$\frac{a(b-c) - b(a+c)}{a(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)} = \frac{-ac-bc}{a(a+b)}$

Вынесем в числителе за скобки общий множитель $-c$:

$\frac{-c(a+b)}{a(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$ (при $a+b \neq 0$):

$-\frac{c}{a}$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.