Номер 41.10, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.10. Решите уравнение:

1) $(c^2 - 9) \cdot x = 2c + 6;$

2) $\frac{x}{(c + 2)^2} = \frac{3}{c^2 - 4};$

3) $\frac{4x}{(c + 1)^2} = \frac{3c}{c^2 - 1};$

4) $\frac{x - 3}{(c - 4)^2} = \frac{2,4}{16 - c^2}.$

1) Дано уравнение $(c^2-9) \cdot x = 2c+6$.

Это линейное уравнение относительно $x$ вида $a \cdot x = b$, где $a = c^2-9$ и $b = 2c+6$.

Разложим коэффициенты $a$ и $b$ на множители:

$a = c^2 - 9 = (c - 3)(c + 3)$

$b = 2c + 6 = 2(c + 3)$

Уравнение принимает вид: $(c - 3)(c + 3) \cdot x = 2(c + 3)$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $c$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$(c - 3)(c + 3) \neq 0$, что означает $c \neq 3$ и $c \neq -3$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(c - 3)(c + 3)$:

$x = \frac{2(c + 3)}{(c - 3)(c + 3)}$

Так как $c \neq -3$, то $c + 3 \neq 0$, и можно сократить дробь на $(c + 3)$:

$x = \frac{2}{c - 3}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Это происходит, если $c = 3$ или $c = -3$.

Если $c = 3$, уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = 2(3 + 3)$, то есть $0 \cdot x = 12$.

Данное равенство неверно, следовательно, при $c = 3$ уравнение не имеет решений.

Если $c = -3$, уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = 2(-3 + 3)$, то есть $0 \cdot x = 0$.

Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: если $c = 3$, то корней нет; если $c = -3$, то $x$ — любое число; если $c \neq 3$ и $c \neq -3$, то $x = \frac{2}{c - 3}$.

2) Дано уравнение $\frac{x}{(c + 2)^2} = \frac{3}{c^2 - 4}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $c$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$(c + 2)^2 \neq 0 \implies c \neq -2$

$c^2 - 4 \neq 0 \implies (c - 2)(c + 2) \neq 0 \implies c \neq 2$ и $c \neq -2$.

Следовательно, уравнение имеет смысл при $c \neq 2$ и $c \neq -2$.

Выразим $x$ из уравнения, умножив обе части на $(c + 2)^2$:

$x = \frac{3 \cdot (c + 2)^2}{c^2 - 4}$

Разложим знаменатель на множители: $c^2 - 4 = (c - 2)(c + 2)$.

$x = \frac{3 \cdot (c + 2)^2}{(c - 2)(c + 2)}$

Так как по ОДЗ $c \neq -2$, то $c + 2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$x = \frac{3(c + 2)}{c - 2}$

Если $c = 2$ или $c = -2$, исходное уравнение не определено, так как происходит деление на ноль, поэтому решений в этих случаях нет.

Ответ: если $c = 2$ или $c = -2$, то корней нет; если $c \neq 2$ и $c \neq -2$, то $x = \frac{3(c + 2)}{c - 2}$.

3) Дано уравнение $\frac{4x}{(c + 1)^2} = \frac{3c}{c^2 - 1}$.

ОДЗ для параметра $c$ определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$(c + 1)^2 \neq 0 \implies c \neq -1$

$c^2 - 1 \neq 0 \implies (c - 1)(c + 1) \neq 0 \implies c \neq 1$ и $c \neq -1$.

Уравнение определено при $c \neq 1$ и $c \neq -1$.

Выразим $4x$ из пропорции:

$4x = \frac{3c \cdot (c + 1)^2}{c^2 - 1} = \frac{3c \cdot (c + 1)^2}{(c - 1)(c + 1)}$

Поскольку $c \neq -1$, сократим дробь на $(c + 1)$:

$4x = \frac{3c(c + 1)}{c - 1}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:

$x = \frac{3c(c + 1)}{4(c - 1)}$

Если $c = 1$ или $c = -1$, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: если $c = 1$ или $c = -1$, то корней нет; если $c \neq 1$ и $c \neq -1$, то $x = \frac{3c(c + 1)}{4(c - 1)}$.

4) Дано уравнение $\frac{x - 3}{(c - 4)^2} = \frac{2,4}{16 - c^2}$.

ОДЗ для параметра $c$:

$(c - 4)^2 \neq 0 \implies c \neq 4$

$16 - c^2 \neq 0 \implies (4 - c)(4 + c) \neq 0 \implies c \neq 4$ и $c \neq -4$.

Уравнение определено при $c \neq 4$ и $c \neq -4$.

Выразим $x - 3$ из уравнения, используя $16 - c^2 = -(c^2 - 16) = -(c - 4)(c + 4)$:

$x - 3 = \frac{2,4 \cdot (c - 4)^2}{16 - c^2} = \frac{2,4 \cdot (c - 4)^2}{-(c - 4)(c + 4)}$

Так как $c \neq 4$, сократим дробь на $(c - 4)$:

$x - 3 = \frac{2,4 \cdot (c - 4)}{-(c + 4)} = -\frac{2,4(c - 4)}{c + 4}$

Теперь выразим $x$:

$x = 3 - \frac{2,4(c - 4)}{c + 4}$

Приведем к общему знаменателю. Представим $2,4$ как $\frac{12}{5}$:

$x = 3 - \frac{\frac{12}{5}(c - 4)}{c + 4} = \frac{3 \cdot 5(c + 4) - 12(c - 4)}{5(c + 4)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$x = \frac{15(c + 4) - 12(c - 4)}{5(c + 4)} = \frac{15c + 60 - 12c + 48}{5(c + 4)} = \frac{3c + 108}{5(c + 4)}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$x = \frac{3(c + 36)}{5(c + 4)}$

Если $c = 4$ или $c = -4$, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: если $c = 4$ или $c = -4$, то корней нет; если $c \neq 4$ и $c \neq -4$, то $x = \frac{3(c + 36)}{5(c + 4)}$.