Номер 41.8, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.8. Найдите $\text{x}$ из пропорции:

1)

$(a^2 - 4) : (2a - 4) = x : (a + 2)$;

2)

$(a^2 - 1)^2 : x = (a^2 - 1) : (a^3 + 1)$.

1) Запишем данную пропорцию $(a^2-4) : (2a-4) = x : (a+2)$ в виде равенства дробей:

$\frac{a^2-4}{2a-4} = \frac{x}{a+2}$

Согласно основному свойству пропорции, произведение средних членов равно произведению крайних членов.

$(2a-4) \cdot x = (a^2-4) \cdot (a+2)$

Выразим $x$:

$x = \frac{(a^2-4)(a+2)}{2a-4}$

Чтобы упростить выражение, разложим на множители числитель и знаменатель. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общий множитель за скобки.

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a-2)(a+2)$

$2a - 4 = 2(a-2)$

Подставим разложенные выражения обратно в формулу для $x$:

$x = \frac{(a-2)(a+2)(a+2)}{2(a-2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-2)$, при условии что $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$:

$x = \frac{(a+2)(a+2)}{2} = \frac{(a+2)^2}{2}$

Ответ: $x = \frac{(a+2)^2}{2}$

2) Запишем пропорцию $(a^2-1)^2 : x = (a^2-1) : (a^3+1)$ в виде равенства дробей:

$\frac{(a^2-1)^2}{x} = \frac{a^2-1}{a^3+1}$

По основному свойству пропорции:

$x \cdot (a^2-1) = (a^2-1)^2 \cdot (a^3+1)$

Выразим $x$:

$x = \frac{(a^2-1)^2(a^3+1)}{a^2-1}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2-1)$, при условии что $a^2-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$ и $a \neq -1$:

$x = (a^2-1)(a^3+1)$

Данное выражение можно также представить в разложенном виде, используя формулы разности квадратов и суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x = (a-1)(a+1)(a+1)(a^2-a+1) = (a-1)(a+1)^2(a^2-a+1)$

Оба варианта ответа являются верными, но первый более компактен.

Ответ: $x = (a^2-1)(a^3+1)$