Номер 41.1, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (41.1-41.2):

41.1.

1) $\left(\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a}\right) : \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{a}\right)$;

2) $\left(\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3}\right) : \left(\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n}\right)$;

3) $\frac{ab + b^2}{5} : \frac{b^3}{5a} + \frac{a + b}{b}$;

4) $\frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}$;

5) $\left(\frac{x}{x + 1} + 1\right) \cdot \frac{1 + x}{2x - 1}$;

6) $\left(\frac{4a}{2 - a} - a\right) : \frac{a + 2}{a - 2}$;

7) $\frac{5y^2}{1 - y^2} : \left(1 - \frac{1}{1 - y}\right)$;

8) $\frac{xb + b^2}{7} : \frac{b^2}{7x} + \frac{x + b}{b}$;

9) $\frac{x}{x - 5} \cdot \frac{4}{x} \cdot \left(x + \frac{x}{4 - x}\right)$;

10) $\left(\frac{a - b}{2a + 2b}\right) : \left(\frac{2}{a} - \frac{2}{b}\right) \cdot \left(\frac{4a + 4b}{a^2b}\right)$.

1) Выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Приведем дроби в первых скобках к общему знаменателю $ay^2$:

$\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a} = \frac{2a \cdot a}{ay^2} - \frac{2 \cdot y^2}{ay^2} = \frac{2a^2 - 2y^2}{ay^2} = \frac{2(a^2 - y^2)}{ay^2} = \frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2}$.

2. Приведем дроби во вторых скобках к общему знаменателю $ay$:

$\frac{1}{y} + \frac{1}{a} = \frac{a}{ay} + \frac{y}{ay} = \frac{a+y}{ay}$.

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$(\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{a}) = \frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2} : \frac{a+y}{ay} = \frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2} \cdot \frac{ay}{a+y}$.

4. Сократим общие множители $(a+y)$, $a$ и $y$:

$\frac{2(a-y)\cancel{(a+y)}}{\cancel{a}y^{\cancel{2}}y} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{y}}{\cancel{a+y}} = \frac{2(a-y)}{y}$.

Ответ: $\frac{2(a-y)}{y}$.

2) Выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $m^3$:

$\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3} = \frac{n \cdot m}{m^3} + \frac{n^2}{m^3} = \frac{nm + n^2}{m^3} = \frac{n(m+n)}{m^3}$.

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $3n^2$:

$\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n} = \frac{m^2}{3n^2} + \frac{m \cdot n}{3n^2} = \frac{m^2 + mn}{3n^2} = \frac{m(m+n)}{3n^2}$.

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь и сократив:

$\frac{n(m+n)}{m^3} : \frac{m(m+n)}{3n^2} = \frac{n(m+n)}{m^3} \cdot \frac{3n^2}{m(m+n)} = \frac{n\cancel{(m+n)}}{m^3} \cdot \frac{3n^2}{m\cancel{(m+n)}} = \frac{3n^3}{m^4}$.

Ответ: $\frac{3n^3}{m^4}$.

3) Сначала выполним деление, затем сложение.

1. Выполним деление:

$\frac{ab + b^2}{5} : \frac{b^3}{5a} = \frac{b(a+b)}{5} \cdot \frac{5a}{b^3} = \frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}a}{b^{\cancel{3}}b^2} = \frac{a(a+b)}{b^2}$.

2. Выполним сложение, приведя к общему знаменателю $b^2$:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{b(a+b)}{b^2} = \frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$.

4) Сначала выполним умножение, затем вычитание.

1. Выполним умножение. Предварительно разложим числитель второй дроби на множители: $x^2 - xy = x(x-y)$.

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y} = \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y}$.

Сократим общие множители $5y$ и $x$:

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}x} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$.

2. Выполним вычитание:

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$.

Ответ: $0$.

5) Сначала выполним действие в скобках, затем умножение.

1. Упростим выражение в скобках:

$\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$.

2. Выполним умножение, учитывая, что $1+x = x+1$:

$\frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{1+x}{2x-1} = \frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1}$.

Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}$.

6) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.

1. Упростим выражение в скобках:

$\frac{4a}{2-a} - a = \frac{4a - a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - 2a + a^2}{2-a} = \frac{a^2 + 2a}{2-a} = \frac{a(a+2)}{2-a}$.

2. Выполним деление. Заметим, что $2-a = -(a-2)$.

$\frac{a(a+2)}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{-(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a+2}$.

3. Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:

$\frac{a\cancel{(a+2)}}{-\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{\cancel{a-2}}{\cancel{a+2}} = \frac{a}{-1} = -a$.

Ответ: $-a$.

7) Сначала выполним действие в скобках, затем деление.

1. Упростим выражение в скобках:

$1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}$.

2. Выполним деление. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$.

$\frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}$.

3. Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$:

$\frac{5y^{\cancel{2}}y}{\cancel{(1-y)}(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{1+y} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{5y}{1+y}$.

Ответ: $-\frac{5y}{1+y}$.

8) Сначала выполним деление, затем сложение.

1. Выполним деление:

$\frac{xb+b^2}{7} : \frac{b^2}{7x} = \frac{b(x+b)}{7} \cdot \frac{7x}{b^2} = \frac{\cancel{b}(x+b)}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}x}{b^{\cancel{2}}b} = \frac{x(x+b)}{b}$.

2. Выполним сложение. Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{x(x+b)}{b} + \frac{x+b}{b} = \frac{x(x+b) + (x+b)}{b}$.

Вынесем общий множитель $(x+b)$ в числителе:

$\frac{(x+b)(x+1)}{b}$.

Ответ: $\frac{(x+1)(x+b)}{b}$.

9) Сначала выполним действие в скобках, затем умножение.

1. Упростим выражение в скобках:

$x + \frac{x}{4-x} = \frac{x(4-x)}{4-x} + \frac{x}{4-x} = \frac{4x - x^2 + x}{4-x} = \frac{5x - x^2}{4-x} = \frac{x(5-x)}{4-x}$.

2. Выполним умножение. Заметим, что $x-5 = -(5-x)$.

$\frac{x}{x-5} \cdot \frac{x(5-x)}{4-x} = \frac{x}{-(5-x)} \cdot \frac{x(5-x)}{4-x}$.

3. Сократим общий множитель $(5-x)$:

$\frac{x}{-\cancel{(5-x)}} \cdot \frac{x\cancel{(5-x)}}{4-x} = \frac{x^2}{-(4-x)} = \frac{x^2}{x-4}$.

Ответ: $\frac{x^2}{x-4}$.

10) Выполним действия по порядку слева направо.

1. Упростим выражения в скобках:

$\frac{a-b}{2a+2b} = \frac{a-b}{2(a+b)}$

$\frac{2}{a} - \frac{2}{b} = \frac{2b-2a}{ab} = \frac{2(b-a)}{ab} = \frac{-2(a-b)}{ab}$

$\frac{4a+4b}{a^2b} = \frac{4(a+b)}{a^2b}$

2. Подставим упрощенные выражения:

$\frac{a-b}{2(a+b)} : \frac{-2(a-b)}{ab} \cdot \frac{4(a+b)}{a^2b}$.

3. Выполним деление (умножение на обратную дробь):

$\frac{a-b}{2(a+b)} \cdot \frac{ab}{-2(a-b)} \cdot \frac{4(a+b)}{a^2b}$.

4. Сократим общие множители:

$\frac{\cancel{a-b}}{\cancel{2}\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{b}}{-\cancel{2}(\cancel{a-b})} \cdot \frac{\cancel{4} \cancel{(a+b)}}{\cancel{a^2}a\cancel{b}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{-1} \cdot \frac{1}{a} = -\frac{1}{a}$.

Ответ: $-\frac{1}{a}$.