Номер 40.19, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.19. Сравните значения числовых выражений:

1) $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4}$ и $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$;

2) $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$ и $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$.

1) Сравним значения выражений $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4}$ и $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$.

Способ 1: Сравнение множителей.

Оба выражения содержат общий положительный множитель $\frac{5}{4}$. Знак сравнения будет зависеть от остальных множителей: $(\frac{2}{5})^2$ и $(\frac{3}{5})^2$.

Сначала сравним основания степеней: $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{5}$.

Поскольку $2 < 3$, то $\frac{2}{5} < \frac{3}{5}$.

Так как оба числа положительные, при возведении в квадрат знак неравенства сохранится:

$(\frac{2}{5})^2 < (\frac{3}{5})^2$

Умножив обе части этого неравенства на положительное число $\frac{5}{4}$, знак неравенства не изменится:

$(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} < \frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$.

Способ 2: Прямое вычисление.

Вычислим значение первого выражения:

$(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 4} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.

Вычислим значение второго выражения:

$\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{25} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 25} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{9}{20}$. Приведем их к общему знаменателю 20:

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$.

Сравниваем $\frac{4}{20}$ и $\frac{9}{20}$. Так как $4 < 9$, то $\frac{4}{20} < \frac{9}{20}$, следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{9}{20}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} < \frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$.

2) Сравним значения выражений $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$ и $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$. Для этого вычислим значение каждой суммы.

Найдем значение первого выражения:

$1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$.

Сложим целые и дробные части по отдельности:

Целые части: $1 + 3 = 4$.

Дробные части: $\frac{2}{5} + \frac{4}{15}$. Приведем дроби к общему знаменателю 15: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$.

$\frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{10}{15}$. Сократим полученную дробь: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

Сумма первого выражения: $4 + \frac{2}{3} = 4\frac{2}{3}$.

Найдем значение второго выражения:

$2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$.

Сложим целые и дробные части по отдельности:

Целые части: $2 + 1 = 3$.

Дробные части: $\frac{3}{7} + \frac{11}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю 14: $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$.

$\frac{6}{14} + \frac{11}{14} = \frac{17}{14}$. Это неправильная дробь. Преобразуем ее в смешанное число: $\frac{17}{14} = 1\frac{3}{14}$.

Сумма второго выражения: $3 + 1\frac{3}{14} = 4\frac{3}{14}$.

Теперь сравним полученные результаты: $4\frac{2}{3}$ и $4\frac{3}{14}$.

Целые части у чисел равны (4), поэтому для сравнения достаточно сравнить их дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{14}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 14 равно $3 \cdot 14 = 42$.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 14}{3 \cdot 14} = \frac{28}{42}$.

$\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$.

Так как $28 > 9$, то $\frac{28}{42} > \frac{9}{42}$, а значит $\frac{2}{3} > \frac{3}{14}$.

Следовательно, $4\frac{2}{3} > 4\frac{3}{14}$.

Ответ: $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} > 2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$.