Номер 41.4, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (41.3-41.4):

41.4. 1) $(\frac{x}{xy - y^2} - \frac{y}{x^2 - xy}) : \frac{x^2 - y^2}{5xy};$

2) $(\frac{4p - 8}{p^3 - 2p^2} - \frac{q + 2}{q^3 + 2q^2}) \cdot \frac{p}{2q - p};$

3) $(\frac{a}{b^2 - ab} + \frac{b}{a^2 - ab}) \cdot \frac{3ab}{b - a};$

4) $(\frac{a - 7b}{ab - b^2} + \frac{7a + b}{a^2 - ab}) : \frac{a^2 + b^2}{a - b}.$

1)Исходное выражение: $(\frac{x}{xy - y^2} - \frac{y}{x^2 - xy}) : \frac{x^2 - y^2}{5xy}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{x}{y(x - y)} - \frac{y}{x(x - y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $xy(x - y)$:

$\frac{x \cdot x - y \cdot y}{xy(x - y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x - y)}$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$\frac{(x - y)(x + y)}{xy(x - y)}$

Сокращаем дробь на $(x - y)$:

$\frac{x + y}{xy}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{x + y}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{5xy} = \frac{x + y}{xy} \cdot \frac{5xy}{x^2 - y^2}$

Снова разложим $x^2 - y^2$ на множители:

$\frac{x + y}{xy} \cdot \frac{5xy}{(x - y)(x + y)}$

Сокращаем одинаковые множители $(x + y)$ и $xy$:

$\frac{5}{x - y}$

Ответ: $\frac{5}{x - y}$

2)Исходное выражение: $(\frac{4p - 8}{p^3 - 2p^2} - \frac{q + 2}{q^3 + 2q^2}) \cdot \frac{p}{2q - p}$.

Упростим каждую дробь в скобках по отдельности.

Первая дробь: $\frac{4p - 8}{p^3 - 2p^2} = \frac{4(p - 2)}{p^2(p - 2)} = \frac{4}{p^2}$.

Вторая дробь: $\frac{q + 2}{q^3 + 2q^2} = \frac{q + 2}{q^2(q + 2)} = \frac{1}{q^2}$.

Подставим упрощенные дроби обратно в скобки:

$\frac{4}{p^2} - \frac{1}{q^2}$

Приведем к общему знаменателю $p^2q^2$ и применим формулу разности квадратов:

$\frac{4q^2 - p^2}{p^2q^2} = \frac{(2q)^2 - p^2}{p^2q^2} = \frac{(2q - p)(2q + p)}{p^2q^2}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(2q - p)(2q + p)}{p^2q^2} \cdot \frac{p}{2q - p}$

Сокращаем одинаковые множители $(2q - p)$ и $p$:

$\frac{2q + p}{pq^2}$

Ответ: $\frac{p + 2q}{pq^2}$

3)Исходное выражение: $(\frac{a}{b^2 - ab} + \frac{b}{a^2 - ab}) \cdot \frac{3ab}{b - a}$.

Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{a}{b(b - a)} + \frac{b}{a(a - b)}$

Заметим, что $a - b = -(b - a)$. Используем это, чтобы привести к общему знаменателю:

$\frac{a}{b(b - a)} - \frac{b}{a(b - a)}$

Общий знаменатель $ab(b - a)$. Приводим к нему дроби:

$\frac{a \cdot a - b \cdot b}{ab(b - a)} = \frac{a^2 - b^2}{ab(b - a)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(a - b)(a + b)}{ab(b - a)} = \frac{-(b - a)(a + b)}{ab(b - a)}$

Сокращаем на $(b - a)$:

$\frac{-(a + b)}{ab}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{-(a + b)}{ab} \cdot \frac{3ab}{b - a}$

Сокращаем $ab$:

$\frac{-3(a + b)}{b - a} = \frac{3(a + b)}{-(b - a)} = \frac{3(a + b)}{a - b}$

Ответ: $\frac{3(a + b)}{a - b}$

4)Исходное выражение: $(\frac{a - 7b}{ab - b^2} + \frac{7a + b}{a^2 - ab}) : \frac{a^2 + b^2}{a - b}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{a - 7b}{b(a - b)} + \frac{7a + b}{a(a - b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(a - b)$:

$\frac{a(a - 7b) + b(7a + b)}{ab(a - b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 7ab + 7ab + b^2}{ab(a - b)}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)}$

Теперь выполним деление:

$\frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)} : \frac{a^2 + b^2}{a - b} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)} \cdot \frac{a - b}{a^2 + b^2}$

Сокращаем одинаковые множители $(a^2 + b^2)$ и $(a - b)$:

$\frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$