Вопросы для закрепления, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Любое ли дробно-рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби?

2. Любое ли тождество удобно доказывать любым из известных способов?

1. Да, любое дробно-рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. По определению, дробно-рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q$ не является нулевым многочленом.

Любая последовательность арифметических действий над рациональными дробями в итоге приводит к рациональной дроби. Это следует из правил выполнения действий с дробями:

Сложение и вычитание: $\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}$. Если $A, B, C, D$ — многочлены, то и числитель $AD \pm BC$, и знаменатель $BD$ также являются многочленами.

Умножение: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$. Произведение многочленов есть многочлен.

Деление: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}$. Результат снова является отношением двух многочленов.

Так как любое число или переменная могут быть представлены как многочлен (например, $5 = \frac{5}{1}$, $x = \frac{x}{1}$), то любое дробно-рациональное выражение, как бы сложно оно ни выглядело, путем последовательного выполнения указанных операций можно свести к одной рациональной дроби.

Например, преобразуем выражение $a - \frac{a-1}{a+1}$:

$a - \frac{a-1}{a+1} = \frac{a}{1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{a(a+1) - (a-1)}{a+1} = \frac{a^2+a-a+1}{a+1} = \frac{a^2+1}{a+1}$.

Результат $\frac{a^2+1}{a+1}$ является рациональной дробью.

Ответ: Да, любое дробно-рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

2. Нет, не любое тождество удобно доказывать любым из известных способов. Выбор наиболее удобного, то есть рационального и короткого, способа доказательства напрямую зависит от структуры самого тождества.

Основные способы доказательства тождеств включают в себя: преобразование левой части до получения правой; преобразование правой части до получения левой; одновременное преобразование обеих частей до тех пор, пока они не станут равны одному и тому же выражению; доказательство того, что разность левой и правой частей равна нулю.

Выбор метода определяется тем, какая из частей тождества выглядит "сложнее" или предоставляет больше возможностей для упрощения.

Пример 1: Тождество $(x-y)^2 + 2xy = x^2+y^2$.

Здесь левая часть выглядит более сложной. Удобнее всего преобразовать именно ее: $(x-y)^2 + 2xy = (x^2 - 2xy + y^2) + 2xy = x^2 - 2xy + 2xy + y^2 = x^2+y^2$. Мы получили правую часть. Попытка преобразовать правую часть в левую была бы крайне неудобной и искусственной.

Пример 2: Тождество $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{(a+b)^2-4ab}{a-b}$ (при $a \neq b, a^2+ab+b^2 \neq 0$).

Здесь обе части достаточно громоздки. Прямое преобразование одной в другую может быть затруднительным. Удобнее упростить каждую часть по отдельности.

Левая часть: $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b$.

Правая часть: $\frac{(a+b)^2-4ab}{a-b} = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{a-b} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a-b} = \frac{(a-b)^2}{a-b} = a-b$.

Обе части равны одному и тому же выражению $a-b$, следовательно, тождество доказано.

Таким образом, для каждого тождества существует, как правило, свой наиболее оптимальный путь доказательства, и выбор этого пути является важной частью решения.

Ответ: Нет, не всегда удобно. Выбор наиболее удобного способа доказательства зависит от вида конкретного тождества.