Номер 40.14, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.14. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных целым числом является значение выражения:

1) $\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} \cdot \frac{(2 - a)(4 - b^2)}{a + 2};$

2) $\frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} : \frac{2m + 5n}{m^2 - 2m + 4} : \frac{m + 2}{2m - 5n}.$

1) Для доказательства утверждения необходимо упростить данное выражение. Будем выполнять действия в порядке их записи, слева направо.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} \cdot \frac{(2 - a)(4 - b^2)}{a + 2} $.

Первым шагом заменим операцию деления на умножение на дробь, обратную делителю:

$ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} \cdot \frac{4 + b^2}{4 - a^2} \cdot \frac{(2 - a)(4 - b^2)}{a + 2} $.

Далее разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $ и разность квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $.

$a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$;

$16 - b^4 = (4)^2 - (b^2)^2 = (4 - b^2)(4 + b^2)$;

$4 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$.

Подставим полученные разложения в наше выражение:

$ \frac{(a + 2)^2}{(4 - b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{4 + b^2}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{(2 - a)(4 - b^2)}{a + 2} $.

Теперь перемножим дроби, сгруппировав все множители в числителе и все множители в знаменателе: $ \frac{(a + 2)^2 \cdot (4 + b^2) \cdot (2 - a) \cdot (4 - b^2)}{(4 - b^2)(4 + b^2) \cdot (2 - a)(a + 2) \cdot (a + 2)} $. Учитывая, что $ (a+2)(a+2)=(a+2)^2 $ и $ 2+a=a+2 $, а также то, что от перестановки множителей произведение не меняется, видим, что числитель и знаменатель равны. Следовательно, их отношение равно 1.

Значение выражения равно 1. Число 1 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

2) Аналогично первому пункту, упростим выражение, выполняя действия по порядку слева направо.

Исходное выражение: $ \frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} : \frac{2m + 5n}{m^2 - 2m + 4} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} \cdot \frac{m^2 - 2m + 4}{2m + 5n} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.

Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $ и формулу суммы кубов $ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $.

$4m^2 - 25n^2 = (2m)^2 - (5n)^2 = (2m - 5n)(2m + 5n)$;

$m^3 + 8 = m^3 + 2^3 = (m + 2)(m^2 - 2m + 4)$.

Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(2m - 5n)(2m + 5n)}{(m + 2)(m^2 - 2m + 4)} \cdot \frac{m^2 - 2m + 4}{2m + 5n} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.

Перемножим дроби, записав все множители числителя в общий числитель, а множители знаменателя — в общий знаменатель: $ \frac{(2m - 5n)(2m + 5n) \cdot (m^2 - 2m + 4) \cdot (m + 2)}{(m + 2)(m^2 - 2m + 4) \cdot (2m + 5n) \cdot (2m - 5n)} $. После перестановки множителей в знаменателе становится очевидно, что числитель и знаменатель идентичны. Следовательно, их отношение равно 1.

Значение выражения равно 1. Так как 1 является целым числом, утверждение доказано.

Ответ: 1.