Номер 40.7, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.7. Упростите выражение:

1) $ \frac{12x^4}{m^3 n^3} : \frac{x^3}{4mn^2} $

2) $ \frac{a^2 b^3}{22mn^2} : \left( \frac{4ab^3}{33mn} \right) $

3) $ \frac{16mx^2}{3y^3} : (4m^3 x) $

4) $ \frac{35x^2 y}{12ab} : \frac{7xy}{8ab^2} $

5) $ -\frac{6xy^2}{5ab} : \left( \frac{9x^2 y^2}{10ab} \right) $

6) $ 45a^2 bx \cdot \frac{b^2}{30x^2 a^3} $

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Это правило записывается как $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $.

$ \frac{12x^4}{m^3n^3} : \frac{x^3}{4mn^2} = \frac{12x^4}{m^3n^3} \cdot \frac{4mn^2}{x^3} $

Теперь перемножим числители и знаменатели и сгруппируем коэффициенты и переменные для удобства сокращения:

$ \frac{12 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot m \cdot n^2}{m^3 \cdot n^3 \cdot x^3} = \frac{48x^4mn^2}{m^3n^3x^3} $

Сократим дробь, используя свойства степеней $ \frac{a^k}{a^l} = a^{k-l} $:

$ 48 \cdot \frac{x^4}{x^3} \cdot \frac{m}{m^3} \cdot \frac{n^2}{n^3} = 48 \cdot x^{4-3} \cdot m^{1-3} \cdot n^{2-3} = 48x^1m^{-2}n^{-1} $

Запишем результат в виде дроби, перенеся переменные с отрицательными степенями в знаменатель:

$ \frac{48x}{m^2n} $

Ответ: $ \frac{48x}{m^2n} $

2) Применим правило деления дробей: умножим первую дробь на перевернутую вторую.

$ \frac{a^2b^3}{22mn^2} : \frac{4ab^3}{33mn} = \frac{a^2b^3}{22mn^2} \cdot \frac{33mn}{4ab^3} $

Перемножим числители и знаменатели:

$ \frac{a^2b^3 \cdot 33mn}{22mn^2 \cdot 4ab^3} = \frac{33a^2b^3mn}{88ab^3mn^2} $

Сократим числовые коэффициенты ($ \frac{33}{88} = \frac{3 \cdot 11}{8 \cdot 11} = \frac{3}{8} $) и переменные:

$ \frac{3}{8} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^3}{b^3} \cdot \frac{m}{m} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{3}{8} \cdot a^{2-1} \cdot b^{3-3} \cdot m^{1-1} \cdot n^{1-2} = \frac{3}{8} a^1b^0m^0n^{-1} $

Так как $ b^0 = 1 $, $ m^0 = 1 $ и $ n^{-1} = \frac{1}{n} $, получаем:

$ \frac{3a}{8n} $

Ответ: $ \frac{3a}{8n} $

3) Представим выражение $ 4m^3x $ в виде дроби $ \frac{4m^3x}{1} $. Затем заменим деление умножением на обратную дробь.

$ \frac{16mx^2}{3y^3} : (4m^3x) = \frac{16mx^2}{3y^3} : \frac{4m^3x}{1} = \frac{16mx^2}{3y^3} \cdot \frac{1}{4m^3x} $

Перемножим дроби:

$ \frac{16mx^2}{3y^3 \cdot 4m^3x} = \frac{16mx^2}{12m^3xy^3} $

Сократим коэффициенты ($ \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $) и переменные:

$ \frac{4}{3} \cdot \frac{m}{m^3} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{4}{3} \cdot m^{1-3} \cdot x^{2-1} \cdot y^{-3} = \frac{4}{3} m^{-2}x^1y^{-3} $

Запишем результат в стандартном виде:

$ \frac{4x}{3m^2y^3} $

Ответ: $ \frac{4x}{3m^2y^3} $

4) Чтобы разделить дроби, умножим первую дробь на обратную ко второй.

$ \frac{35x^2y}{12ab} : \frac{7xy}{8ab^2} = \frac{35x^2y}{12ab} \cdot \frac{8ab^2}{7xy} $

Перемножим и сгруппируем множители для сокращения:

$ \frac{35 \cdot 8 \cdot x^2yab^2}{12 \cdot 7 \cdot abxy} = \left(\frac{35}{7} \cdot \frac{8}{12}\right) \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y} \cdot \frac{a}{a} \cdot \frac{b^2}{b} $

Сократим коэффициенты: $ \frac{35}{7}=5 $, $ \frac{8}{12}=\frac{2}{3} $. Их произведение: $ 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3} $.

Сократим переменные: $ \frac{x^2}{x}=x $, $ \frac{y}{y}=1 $, $ \frac{a}{a}=1 $, $ \frac{b^2}{b}=b $.

Объединим результаты:

$ \frac{10}{3} \cdot x \cdot b = \frac{10bx}{3} $

Ответ: $ \frac{10bx}{3} $

5) Выражение содержит знак минус, который мы сохраним. Деление дробей заменяем на умножение на обратную дробь.

$ -\frac{6xy^2}{5ab} : \frac{9x^2y^2}{10ab} = -\left( \frac{6xy^2}{5ab} \cdot \frac{10ab}{9x^2y^2} \right) $

Перемножим дроби в скобках:

$ - \frac{6xy^2 \cdot 10ab}{5ab \cdot 9x^2y^2} = - \frac{60abxy^2}{45abx^2y^2} $

Сократим числовые коэффициенты ($ \frac{60}{45} = \frac{4 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{4}{3} $) и переменные:

$ - \frac{4}{3} \cdot \frac{a}{a} \cdot \frac{b}{b} \cdot \frac{x}{x^2} \cdot \frac{y^2}{y^2} = - \frac{4}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot x^{1-2} \cdot y^{2-2} = - \frac{4}{3} x^{-1}y^0 $

Учитывая, что $ x^{-1} = \frac{1}{x} $ и $ y^0=1 $, получаем:

$ -\frac{4}{3x} $

Ответ: $ -\frac{4}{3x} $

6) В данном примере выполняется умножение. Представим первый множитель в виде дроби и выполним умножение.

$ 45a^2bx \cdot \frac{b^2}{30x^2a^3} = \frac{45a^2bx}{1} \cdot \frac{b^2}{30x^2a^3} $

Перемножим числители и знаменатели:

$ \frac{45a^2bx \cdot b^2}{30x^2a^3} = \frac{45a^2b^3x}{30a^3x^2} $

Сократим коэффициенты ($ \frac{45}{30} = \frac{3 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{3}{2} $) и переменные:

$ \frac{3}{2} \cdot \frac{a^2}{a^3} \cdot b^3 \cdot \frac{x}{x^2} = \frac{3}{2} \cdot a^{2-3} \cdot b^3 \cdot x^{1-2} = \frac{3}{2} a^{-1}b^3x^{-1} $

Запишем выражение с положительными степенями, переместив $ a^{-1} $ и $ x^{-1} $ в знаменатель:

$ \frac{3b^3}{2ax} $

Ответ: $ \frac{3b^3}{2ax} $