Вопросы для закрепления, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В чем сходство и различие в правилах умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей?

2. При каких значениях переменных выполняются действия умножения и деления рациональных дробей?

1. Правила умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей имеют как фундаментальное сходство в алгоритме, так и существенные различия в природе объектов и методах упрощения.

Сходство:

Основное сходство заключается в том, что формальные правила для выполнения операций одинаковы. Если представить дроби в общем виде, где $A, B, C, D$ могут быть как числами (для обыкновенных дробей), так и многочленами (для рациональных), то правила выглядят так:

• Умножение: Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

  Формула: $ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $

• Деление: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю).

  Формула: $ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $

Различие:

Различия обусловлены природой элементов, из которых состоят дроби:

1. Состав дробей: У обыкновенных дробей числитель и знаменатель — это целые числа. У рациональных дробей числитель и знаменатель — это многочлены, которые могут содержать переменные.

2. Процесс вычисления и упрощения:

   – В случае обыкновенных дробей выполняются арифметические операции умножения чисел. Перед умножением или после него дроби сокращают, раскладывая числа на простые множители.

   – В случае рациональных дробей выполняются алгебраические операции умножения многочленов. Ключевым и часто наиболее сложным этапом является предварительное упрощение (сокращение). Для этого числители и знаменатели раскладывают на множители, используя различные алгебраические методы: вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, группировку, решение уравнений для нахождения корней и т.д. Без этого шага результат может получиться очень громоздким и неудобным для дальнейшего использования.

3. Область допустимых значений (ОДЗ): Для обыкновенных дробей знаменатель — это просто число, не равное нулю. Для рациональных дробей знаменатели являются выражениями с переменными, поэтому необходимо всегда находить и учитывать ОДЗ — значения переменных, при которых знаменатели не обращаются в ноль. Этот аспект является неотъемлемой частью решения задач с рациональными дробями.

Ответ: Сходство заключается в одинаковом алгоритме действий: для умножения перемножаются числители с числителями и знаменатели со знаменателями, а деление заменяется умножением на обратную дробь. Различие состоит в том, что в обыкновенных дробях числители и знаменатели — числа, а в рациональных — многочлены. Это приводит к разным методам упрощения (разложение чисел на множители против разложения многочленов) и необходимости находить область допустимых значений для переменных в рациональных дробях.

2. Действия умножения и деления рациональных дробей выполняются только при тех значениях переменных, для которых эти действия имеют смысл. Основное правило, которое здесь работает, — знаменатель любой дроби не может быть равен нулю.

Рассмотрим две рациональные дроби $ \frac{A}{B} $ и $ \frac{C}{D} $, где $A, B, C, D$ — многочлены.

При умножении:

Для выполнения операции умножения $ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} $ необходимо, чтобы обе исходные дроби существовали. Дробь существует, если ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, должны выполняться два условия:

• $ B \neq 0 $
• $ D \neq 0 $

Действие умножения выполняется для всех значений переменных, при которых знаменатели обеих дробей-сомножителей не обращаются в ноль.

При делении:

Операция деления $ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} $ заменяется умножением на обратную дробь: $ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} $. Здесь ограничений становится больше:

1. Знаменатель первой дроби (делимого) не должен быть равен нулю: $ B \neq 0 $.

2. Знаменатель второй дроби (делителя) не должен быть равен нулю, иначе сам делитель не определен: $ D \neq 0 $.

3. Делитель $ \frac{C}{D} $ не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель не равен). Следовательно, числитель делителя не должен быть равен нулю: $ C \neq 0 $.

Таким образом, для выполнения действия деления должны одновременно выполняться три условия:

• $ B \neq 0 $
• $ D \neq 0 $
• $ C \neq 0 $

Действие деления выполняется для всех значений переменных, при которых не обращаются в ноль знаменатели обеих дробей, а также числитель дроби-делителя.

Ответ: Действия умножения и деления рациональных дробей выполняются при всех значениях переменных, входящих в их состав, при которых знаменатели всех участвующих в операции дробей не обращаются в ноль. В случае деления дополнительно требуется, чтобы числитель дроби-делителя также не был равен нулю.