Задания, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Свойство 2

Равенство $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $\text{n}$ — целое число, верно при любых допустимых значениях переменных, то есть при $b \neq 0$.

Самостоятельно докажите свойство 2.

Самостоятельно докажите свойство 2.

Необходимо доказать равенство (Свойство 2): $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $, где $n$ — целое число, а $a$ и $b$ — переменные, для которых выражения в обеих частях равенства имеют смысл. Условие $b \neq 0$ необходимо, чтобы была определена дробь $\frac{a}{b}$. Также, если показатель степени $n$ является не положительным ($n \le 0$), необходимо дополнительное условие $a \neq 0$, чтобы основание степени $\frac{a}{b}$ не было равно нулю.

Доказательство проведём, рассмотрев три случая для показателя степени $n$.

1. Пусть $n$ — натуральное число ($n > 0$).

По определению степени с натуральным показателем, возведение в степень $n$ означает умножение основания само на себя $n$ раз: $ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} $.

По правилу умножения дробей, произведение нескольких дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей: $ \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} $.

Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, есть $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей, равных $b$, есть $b^n$. Таким образом, получаем: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $.

В этом случае равенство доказано.

2. Пусть $n = 0$.

Как было отмечено, в этом случае должно выполняться условие $a \neq 0$ (и $b \neq 0$), чтобы основание степени $\frac{a}{b}$ не было равно нулю.

Рассмотрим левую часть равенства. По определению степени с нулевым показателем (любое ненулевое число в степени 0 равно 1): $ (\frac{a}{b})^0 = 1 $.

Рассмотрим правую часть равенства. Так как $a \neq 0$ и $b \neq 0$: $ \frac{a^0}{b^0} = \frac{1}{1} = 1 $.

Левая и правая части равны, следовательно, равенство $ (\frac{a}{b})^0 = \frac{a^0}{b^0} $ верно.

3. Пусть $n$ — целое отрицательное число ($n < 0$).

В этом случае также необходимо, чтобы $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Представим $n$ в виде $n = -m$, где $m$ — натуральное число ($m > 0$).

Рассмотрим левую часть равенства, используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$: $ (\frac{a}{b})^n = (\frac{a}{b})^{-m} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^m} $.

Поскольку $m$ — натуральное число, мы можем применить результат, доказанный в пункте 1: $(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$. Подставляем это в наше выражение: $ \frac{1}{(\frac{a}{b})^m} = \frac{1}{\frac{a^m}{b^m}} $.

Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь: $ \frac{1}{\frac{a^m}{b^m}} = 1 \cdot \frac{b^m}{a^m} = \frac{b^m}{a^m} $.

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства: $ \frac{a^n}{b^n} = \frac{a^{-m}}{b^{-m}} $.

Снова применяем определение степени с отрицательным показателем: $ \frac{a^{-m}}{b^{-m}} = \frac{\frac{1}{a^m}}{\frac{1}{b^m}} = \frac{1}{a^m} \cdot \frac{b^m}{1} = \frac{b^m}{a^m} $.

Левая и правая части равны $\frac{b^m}{a^m}$, следовательно, равенство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ верно и для целых отрицательных $n$.

Мы рассмотрели все возможные случаи для целого числа $n$ (положительное, ноль, отрицательное) и в каждом из них, при условии, что выражения имеют смысл, равенство выполняется. Таким образом, свойство 2 доказано.

Ответ: Свойство $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $ доказано для всех целых $n$ и любых допустимых значений переменных $a$ и $b$, при которых обе части равенства определены.