Номер 39.22, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.22. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $\frac{n^3}{n^2 - 4} - \frac{n}{n - 2} - \frac{2}{n + 2}$ и $n - 1$;

2) $\frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}$ и $a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}$;

3) $\frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab}$ и $\frac{8}{2a + b}$;

4) $\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}$ и $\frac{36}{(a^2 - 9)^2}$;

5) $\frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2}$ и $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$;

6) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1}$ и $\frac{1}{a - 1}$.

1) Чтобы доказать тождество, упростим левую часть выражения $\frac{n^3}{n^2 - 4} - \frac{n}{n - 2} - \frac{2}{n + 2}$.

Разложим знаменатель $n^2 - 4$ на множители по формуле разности квадратов: $n^2 - 4 = (n - 2)(n + 2)$. Это будет общий знаменатель.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$\frac{n^3}{(n - 2)(n + 2)} - \frac{n(n + 2)}{(n - 2)(n + 2)} - \frac{2(n - 2)}{(n - 2)(n + 2)} = \frac{n^3 - n(n + 2) - 2(n - 2)}{(n - 2)(n + 2)}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$n^3 - (n^2 + 2n) - (2n - 4) = n^3 - n^2 - 2n - 2n + 4 = n^3 - n^2 - 4n + 4$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители за скобки:

$(n^3 - n^2) - (4n - 4) = n^2(n - 1) - 4(n - 1) = (n - 1)(n^2 - 4)$.

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{(n - 1)(n^2 - 4)}{n^2 - 4}$.

Сократим дробь на общий множитель $(n^2 - 4)$:

$n - 1$.

Полученное выражение $n - 1$ совпадает с правой частью, следовательно, выражения тождественно равны.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства равенства выражений $\frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}$ и $a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}$ преобразуем обе части к одному виду.

Преобразуем левую часть: $\frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}$.

Разложим знаменатель на множители: $a^2 - 3a = a(a - 3)$. Общий знаменатель $a(a - 3)$.

$\frac{3}{a(a - 3)} + \frac{a^2 \cdot a}{a(a - 3)} = \frac{3 + a^3}{a(a - 3)}$.

Теперь преобразуем правую часть: $a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}$.

Приведем к общему знаменателю $a^2 - 3a = a(a - 3)$:

$\frac{(a + 3)(a^2 - 3a)}{a^2 - 3a} + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a} = \frac{a^3 - 3a^2 + 3a^2 - 9a + 9a + 3}{a^2 - 3a} = \frac{a^3 + 3}{a^2 - 3a} = \frac{a^3 + 3}{a(a - 3)}$.

Так как обе части равны одному и тому же выражению $\frac{a^3 + 3}{a(a - 3)}$, исходные выражения тождественно равны.

Ответ: Тождество доказано.

3) Упростим левую часть выражения $\frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab}$.

Разложим знаменатели на множители:

$2a^2 - ab = a(2a - b)$

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

$2a^2 + ab = a(2a + b)$

Общий знаменатель: $a(2a - b)(2a + b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и объединим их:

$\frac{(2a + b)(2a + b)}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{16a \cdot a}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{(2a - b)(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)} = \frac{(2a + b)^2 - 16a^2 - (2a - b)^2}{a(2a - b)(2a + b)}$.

Упростим числитель. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для крайних членов:

$(2a+b)^2 - (2a-b)^2 = ((2a+b) - (2a-b))((2a+b) + (2a-b)) = (2b)(4a) = 8ab$.

Теперь числитель равен: $8ab - 16a^2 = -8a(2a - b)$.

Подставим числитель в дробь:

$\frac{-8a(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)}$.

Сократим дробь на $a(2a - b)$:

$\frac{-8}{2a + b}$.

Полученное выражение $-\frac{8}{2a + b}$ не равно выражению $\frac{8}{2a + b}$ из условия. Эти выражения являются противоположными. В условии задачи, вероятно, допущена опечатка.

Ответ: Выражения не являются тождественно равными, они противоположны.

4) Упростим левую часть выражения: $\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}$.

Знаменатель $a^2 - 9$ раскладывается на множители как $(a - 3)(a + 3)$.

Общий знаменатель для всех дробей: $(a - 3)^2(a + 3)^2$, что можно записать как $((a - 3)(a + 3))^2 = (a^2 - 9)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a + 3)^2}{(a^2 - 9)^2} - \frac{2(a - 3)(a + 3)}{(a^2 - 9)^2} + \frac{(a - 3)^2}{(a^2 - 9)^2} = \frac{(a + 3)^2 - 2(a^2 - 9) + (a - 3)^2}{(a^2 - 9)^2}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(a^2 + 6a + 9) - (2a^2 - 18) + (a^2 - 6a + 9) = a^2 + 6a + 9 - 2a^2 + 18 + a^2 - 6a + 9$.

Приведем подобные слагаемые: $(a^2 - 2a^2 + a^2) + (6a - 6a) + (9 + 18 + 9) = 0 + 0 + 36 = 36$.

В результате получаем дробь $\frac{36}{(a^2 - 9)^2}$, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.

5) Упростим левую часть выражения: $\frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2}$.

Используем формулу разности кубов для знаменателя $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Общий знаменатель: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{1(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.

Объединим числители: $\frac{(x - 2)^2 - 6x + (x^2 + 2x + 4)}{x^3 - 8}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(x^2 - 4x + 4) - 6x + x^2 + 2x + 4 = 2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2$.

Подставим числитель в дробь: $\frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.

Сократим дробь на $(x - 2)$: $\frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$.

Полученное выражение равно правой части.

Ответ: Тождество доказано.

6) Упростим левую часть выражения: $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1}$.

Используем формулу разности кубов $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$. Это будет общий знаменатель.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.

Объединим дроби, записав все под общим знаменателем:

$\frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - 3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$2a^2 + 7a + 3 - (a - 1 - 2a^2 + 2a) - (3a^2 + 3a + 3) = 2a^2 + 7a + 3 - (-2a^2 + 3a - 1) - 3a^2 - 3a - 3$.

$2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - 3a^2 - 3a - 3$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2a^2 + 2a^2 - 3a^2) + (7a - 3a - 3a) + (3 + 1 - 3) = a^2 + a + 1$.

Подставим упрощенный числитель в дробь: $\frac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.

Сократим дробь на $(a^2 + a + 1)$: $\frac{1}{a - 1}$.

Левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.