Задания, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Свойство 3

Равенство $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $ верно при любых допустимых значениях переменных, то есть при $b \neq 0, c \neq 0$ и $d \neq 0$.

Самостоятельно докажите свойство 3, используя связь деления и умножения: $x : y = k \Leftrightarrow k \cdot y = x$.

Для доказательства свойства 3, которое утверждает, что $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$, необходимо использовать связь между делением и умножением, которая определяется следующим образом: $x : y = k$ тогда и только тогда, когда $k \cdot y = x$.

В нашем случае, нам нужно найти результат деления (частное) двух дробей. Обозначим:

• Делимое: $x = \frac{a}{b}$
• Делитель: $y = \frac{c}{d}$
• Частное: $k = \frac{a}{b} : \frac{c}{d}$

Нам нужно доказать, что это частное $k$ равно выражению $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Чтобы доказать это, мы должны проверить, выполняется ли равенство $k \cdot y = x$, если в качестве $k$ взять предполагаемый результат $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Подставим выражения для $k$, $y$ и $x$ в формулу $k \cdot y = x$:

$(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}) \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$

Теперь преобразуем левую часть этого равенства. Используем свойство ассоциативности умножения (порядок умножения не важен):

$\frac{a}{b} \cdot (\frac{d}{c} \cdot \frac{c}{d})$

Выполним умножение в скобках. Произведение взаимно обратных дробей равно единице:

$\frac{d}{c} \cdot \frac{c}{d} = \frac{d \cdot c}{c \cdot d} = \frac{cd}{cd} = 1$

Это верно, так как по условию $c \neq 0$ и $d \neq 0$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для левой части:

$\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$

Мы получили, что левая часть равенства $(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}) \cdot \frac{c}{d}$ действительно равна $\frac{a}{b}$. Таким образом, мы пришли к верному тождеству $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.

Поскольку равенство $k \cdot y = x$ истинно для $k = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$, это по определению означает, что $k$ является частным от деления $x$ на $y$. Следовательно, доказано, что $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Ответ: Доказательство основано на определении частного. Мы проверили, что если умножить предполагаемое частное $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ на делитель $\frac{c}{d}$, то получится делимое $\frac{a}{b}$. Это подтверждает, что равенство $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ верно при всех допустимых значениях переменных.