Проанализируй и ответь, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить рациональную дробь на рациональную дробь, нужно перемножить числители и записать в числитель, перемножить знаменатели и записать в знаменатель.

Почему это правило можно использовать при умножении четырех и более рациональных дробей?

Правило умножения двух рациональных дробей можно распространить на любое количество дробей (четыре, пять и так далее) благодаря сочетательному (или ассоциативному) свойству умножения. Это свойство означает, что при умножении нескольких множителей их можно группировать в любом порядке, и итоговый результат от этого не изменится.

Рассмотрим, как это работает на примере умножения четырех дробей: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} \cdot \frac{g}{h} $.

Благодаря сочетательному свойству, мы можем выполнить это умножение последовательно, шаг за шагом, каждый раз применяя правило для двух дробей.

1. Сначала умножим первые две дроби. Результатом их умножения, согласно правилу, является тоже рациональная дробь:

$ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{e}{f} \cdot \frac{g}{h} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{e}{f} \cdot \frac{g}{h} $

2. Теперь перед нами стоит задача умножить получившуюся дробь на третью. Снова применяем правило:

$ (\frac{a \cdot c}{b \cdot d}) \cdot \frac{e}{f} = \frac{(a \cdot c) \cdot e}{(b \cdot d) \cdot f} = \frac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f} $

3. И наконец, умножим результат предыдущего шага на последнюю, четвертую дробь:

$ (\frac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f}) \cdot \frac{g}{h} = \frac{(a \cdot c \cdot e) \cdot g}{(b \cdot d \cdot f) \cdot h} = \frac{a \cdot c \cdot e \cdot g}{b \cdot d \cdot f \cdot h} $

В итоге мы получили дробь, числитель которой равен произведению числителей всех четырех исходных дробей ($a \cdot c \cdot e \cdot g$), а знаменатель — произведению их знаменателей ($b \cdot d \cdot f \cdot h$). Этот же принцип будет работать для любого количества дробей.

Ответ: Это правило можно использовать при умножении четырех и более рациональных дробей из-за сочетательного свойства умножения. Это свойство позволяет нам применять правило умножения двух дробей последовательно: мы умножаем первые две дроби, затем результат умножаем на третью дробь, и так далее. В конечном итоге, числитель результата будет произведением всех числителей, а знаменатель — произведением всех знаменателей, что и является обобщением исходного правила.