Номер 39.20, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (39.19–39.21):

39.20.

1) $\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$;

2) $\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{p^3-q^3}$;

3) $\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{a^3+1}$;

4) $\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}$.

1)Преобразуем вторую дробь, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3} = \frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{1 \cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} - \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{a^2-ab+b^2 - (a^2+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$

Упростим числитель:

$a^2-ab+b^2 - a^2-b^2 = -ab$

Получаем выражение:

$\frac{-ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{-ab}{a^3+b^3}$

Ответ: $\frac{-ab}{a^3+b^3}$

2)Преобразуем вторую дробь, используя формулу разности кубов $p^3-q^3 = (p-q)(p^2+pq+q^2)$:

$\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{p^3-q^3} = \frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(p-q)(p^2+pq+q^2)$:

$\frac{1 \cdot (p^2+pq+q^2)}{(p-q)(p^2+pq+q^2)} - \frac{3pq}{(p-q)(p^2+pq+q^2)} = \frac{p^2+pq+q^2 - 3pq}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}$

Упростим числитель:

$p^2+pq+q^2 - 3pq = p^2-2pq+q^2 = (p-q)^2$

Получаем выражение и сокращаем дробь:

$\frac{(p-q)^2}{(p-q)(p^2+pq+q^2)} = \frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$

Ответ: $\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$

3)Преобразуем вторую дробь, используя формулу суммы кубов $a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$:

$\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{a^3+1} = \frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{(a+1)(a^2-a+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a+1)(a^2-a+1)$:

$\frac{(1-a)(a+1)}{(a^2-a+1)(a+1)} + \frac{a^2}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{(1-a)(a+1)+a^2}{a^3+1}$

Раскроем скобки в числителе по формуле разности квадратов $(1-a)(1+a)=1-a^2$:

$1-a^2+a^2 = 1$

Получаем выражение:

$\frac{1}{a^3+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^3+1}$

4)Преобразуем знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $a^3+64 = a^3+4^3 = (a+4)(a^2-4a+16)$:

$\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16} = \frac{6a^3+48a}{(a+4)(a^2-4a+16)} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a+4)(a^2-4a+16)$:

$\frac{6a^3+48a}{(a+4)(a^2-4a+16)} - \frac{3a^2(a+4)}{(a^2-4a+16)(a+4)} = \frac{6a^3+48a - 3a^2(a+4)}{a^3+64}$

Упростим числитель:

$6a^3+48a - (3a^3+12a^2) = 6a^3+48a - 3a^3-12a^2 = 3a^3-12a^2+48a$

Вынесем общий множитель $3a$ за скобки в числителе:

$3a(a^2-4a+16)$

Получаем выражение и сокращаем дробь:

$\frac{3a(a^2-4a+16)}{(a+4)(a^2-4a+16)} = \frac{3a}{a+4}$

Ответ: $\frac{3a}{a+4}$