Номер 39.16, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.16. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{xy} + \frac{1}{ax} + \frac{1}{ay};$

2) $\frac{xy-y}{x} - \frac{xy-x}{y} - \frac{x^2-y^2}{xy};$

3) $\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{a+2c}{a} + \frac{a-2c}{c}.$

1) Для сложения дробей $\frac{1}{xy} + \frac{1}{ax} + \frac{1}{ay}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $xy$, $ax$, $ay$. Наименьшим общим знаменателем для этих выражений является $axy$.

Приведем каждую дробь к знаменателю $axy$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $a$, второй дроби — на $y$, третьей дроби — на $x$.

$\frac{1}{xy} + \frac{1}{ax} + \frac{1}{ay} = \frac{1 \cdot a}{xy \cdot a} + \frac{1 \cdot y}{ax \cdot y} + \frac{1 \cdot x}{ay \cdot x} = \frac{a}{axy} + \frac{y}{axy} + \frac{x}{axy}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{a+y+x}{axy}$

В числителе нет подобных слагаемых, и его нельзя разложить на множители, чтобы сократить дробь. Поэтому это окончательный вид выражения.

Ответ: $\frac{a+x+y}{axy}$.

2) Чтобы упростить выражение $\frac{xy-y}{x} - \frac{xy-x}{y} - \frac{x^2-y^2}{xy}$, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x$, $y$ и $xy$ — это $xy$.

Домножим первую дробь на $y$, вторую — на $x$. Третья дробь уже имеет необходимый знаменатель.

$\frac{(xy-y) \cdot y}{x \cdot y} - \frac{(xy-x) \cdot x}{y \cdot x} - \frac{x^2-y^2}{xy} = \frac{xy^2-y^2}{xy} - \frac{x^2y-x^2}{xy} - \frac{x^2-y^2}{xy}$

Объединим дроби, выполнив вычитание числителей. Важно правильно раскрыть скобки, учитывая знаки минуса перед дробями:

$\frac{(xy^2-y^2) - (x^2y-x^2) - (x^2-y^2)}{xy} = \frac{xy^2-y^2 - x^2y+x^2 - x^2+y^2}{xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $-y^2$ и $+y^2$ взаимно уничтожаются, так же как и $+x^2$ и $-x^2$.

$\frac{xy^2 - x^2y}{xy}$

Вынесем общий множитель $xy$ за скобки в числителе:

$\frac{xy(y-x)}{xy}$

Сократим дробь на общий множитель $xy$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):

$y-x$

Ответ: $y-x$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{a+2c}{a} + \frac{a-2c}{c}$. Для выполнения действий с дробями найдем общий знаменатель. Для знаменателей $ac$, $a$ и $c$ общим знаменателем является $ac$.

Приведем вторую и третью дроби к знаменателю $ac$. Дополнительный множитель для второй дроби — $c$, для третьей — $a$.

$\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{(a+2c) \cdot c}{a \cdot c} + \frac{(a-2c) \cdot a}{c \cdot a} = \frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{ac+2c^2}{ac} + \frac{a^2-2ac}{ac}$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, выполним действия с числителями:

$\frac{(3ac+2c^2) - (ac+2c^2) + (a^2-2ac)}{ac} = \frac{3ac+2c^2 - ac - 2c^2 + a^2 - 2ac}{ac}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(3ac-ac-2ac) + (2c^2-2c^2) + a^2 = 0 \cdot ac + 0 \cdot c^2 + a^2 = a^2$

Получаем дробь:

$\frac{a^2}{ac}$

Сократим эту дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$ и $c \neq 0$):

$\frac{a \cdot a}{a \cdot c} = \frac{a}{c}$

Ответ: $\frac{a}{c}$.