Номер 39.11, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.11. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $ \frac{x}{4} + \frac{y}{3} $;

2) $ \frac{c}{6} - \frac{d}{12} $;

3) $ \frac{p}{q} + \frac{q}{p} $;

4) $ \frac{a}{b} - \frac{b^2}{a} $;

5) $ \frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} $;

6) $ \frac{a}{5c} + \frac{3a}{4c} $;

7) $ \frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} $;

8) $ \frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c} $;

9) $ \frac{5a}{18b} - \frac{7a}{45b} $;

10) $ \frac{3}{2a} + \frac{3a-b}{2a} $;

11) $ \frac{a}{7b} + \frac{4a-b}{7b} $;

12) $ \frac{2a-3b}{2a-b} + \frac{7a-b}{b-2a} $.

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{x}{4} $ и $ \frac{y}{3} $, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 3 — это 12. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 4.

$ \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{3x + 4y}{12} $

Ответ: $ \frac{3x + 4y}{12} $

2) Чтобы вычесть дроби $ \frac{c}{6} $ и $ \frac{d}{12} $, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 12 — это 12. Умножим первую дробь на дополнительный множитель 2.

$ \frac{c}{6} - \frac{d}{12} = \frac{c \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{d}{12} = \frac{2c}{12} - \frac{d}{12} = \frac{2c - d}{12} $

Ответ: $ \frac{2c - d}{12} $

3) Для сложения дробей $ \frac{p}{q} $ и $ \frac{q}{p} $ общим знаменателем будет произведение их знаменателей, то есть $ pq $. Умножим первую дробь на $ p $, а вторую — на $ q $.

$ \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p \cdot p}{q \cdot p} + \frac{q \cdot q}{p \cdot q} = \frac{p^2}{pq} + \frac{q^2}{pq} = \frac{p^2 + q^2}{pq} $

Ответ: $ \frac{p^2 + q^2}{pq} $

4) Для вычитания дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{b^2}{a} $ общим знаменателем будет $ ab $. Умножим первую дробь на $ a $, а вторую — на $ b $.

$ \frac{a}{b} - \frac{b^2}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^3}{ab} = \frac{a^2 - b^3}{ab} $

Ответ: $ \frac{a^2 - b^3}{ab} $

5) Общий знаменатель для дробей $ \frac{3}{2x} $ и $ \frac{2}{3x} $ — это $ 6x $. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.

$ \frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} = \frac{3 \cdot 3}{2x \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{9}{6x} - \frac{4}{6x} = \frac{9 - 4}{6x} = \frac{5}{6x} $

Ответ: $ \frac{5}{6x} $

6) Общий знаменатель для дробей $ \frac{a}{5c} $ и $ \frac{3a}{4c} $ — это $ 20c $. Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 5.

$ \frac{a}{5c} + \frac{3a}{4c} = \frac{a \cdot 4}{5c \cdot 4} + \frac{3a \cdot 5}{4c \cdot 5} = \frac{4a}{20c} + \frac{15a}{20c} = \frac{4a + 15a}{20c} = \frac{19a}{20c} $

Ответ: $ \frac{19a}{20c} $

7) Общий знаменатель для дробей $ \frac{5x}{8y} $ и $ \frac{x}{4y} $ — это $ 8y $. Умножим вторую дробь на дополнительный множитель 2.

$ \frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} = \frac{5x}{8y} + \frac{x \cdot 2}{4y \cdot 2} = \frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y} = \frac{5x + 2x}{8y} = \frac{7x}{8y} $

Ответ: $ \frac{7x}{8y} $

8) Найдем общий знаменатель для $ 24c $ и $ 36c $. Наименьшее общее кратное для 24 и 36 равно 72. Значит, общий знаменатель — $ 72c $. Дополнительный множитель для первой дроби $ 72 \div 24 = 3 $, для второй $ 72 \div 36 = 2 $.

$ \frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c} = \frac{17y \cdot 3}{24c \cdot 3} - \frac{25y \cdot 2}{36c \cdot 2} = \frac{51y}{72c} - \frac{50y}{72c} = \frac{51y - 50y}{72c} = \frac{y}{72c} $

Ответ: $ \frac{y}{72c} $

9) Найдем общий знаменатель для $ 18b $ и $ 45b $. Наименьшее общее кратное для 18 и 45 равно 90. Значит, общий знаменатель — $ 90b $. Дополнительный множитель для первой дроби $ 90 \div 18 = 5 $, для второй $ 90 \div 45 = 2 $.

$ \frac{5a}{18b} - \frac{7a}{45b} = \frac{5a \cdot 5}{18b \cdot 5} - \frac{7a \cdot 2}{45b \cdot 2} = \frac{25a}{90b} - \frac{14a}{90b} = \frac{25a - 14a}{90b} = \frac{11a}{90b} $

Ответ: $ \frac{11a}{90b} $

10) Знаменатели дробей $ \frac{3}{2a} $ и $ \frac{3a-b}{2a} $ одинаковы, поэтому для сложения дробей нужно сложить их числители.

$ \frac{3}{2a} + \frac{3a-b}{2a} = \frac{3 + (3a-b)}{2a} = \frac{3 + 3a - b}{2a} = \frac{3a - b + 3}{2a} $

Ответ: $ \frac{3a - b + 3}{2a} $

11) Дроби $ \frac{a}{7b} $ и $ \frac{4a-b}{7b} $ имеют одинаковый знаменатель. Складываем их числители.

$ \frac{a}{7b} + \frac{4a-b}{7b} = \frac{a + (4a-b)}{7b} = \frac{a + 4a - b}{7b} = \frac{5a - b}{7b} $

Ответ: $ \frac{5a - b}{7b} $

12) Знаменатель второй дроби $ b-2a $ является противоположным знаменателю первой дроби $ 2a-b $, так как $ b-2a = -(2a-b) $. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби перед дробью.

$ \frac{2a-3b}{2a-b} + \frac{7a-b}{b-2a} = \frac{2a-3b}{2a-b} - \frac{7a-b}{2a-b} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычитаем числители. Важно не забыть про скобки при вычитании второго числителя.

$ \frac{(2a-3b) - (7a-b)}{2a-b} = \frac{2a - 3b - 7a + b}{2a-b} = \frac{(2a - 7a) + (-3b + b)}{2a-b} = \frac{-5a - 2b}{2a-b} $

Ответ: $ \frac{-5a - 2b}{2a-b} $