Номер 39.18, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.18. Найдите значение выражения:

1) $\frac{y-25}{5y-25} + \frac{3y+5}{y^2-5y}$ при $y = 2,5;$

2) $\frac{2}{y^2-yx} - \frac{2}{yx-x^2}$ при $x = 2; y = -3.$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{y-25}{5y-25} + \frac{3y+5}{y^2-5y}$ при $y = 2,5$, сначала упростим его.

Разложим знаменатели на множители.

В первой дроби: $5y - 25 = 5(y-5)$.

Во второй дроби: $y^2 - 5y = y(y-5)$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{y-25}{5(y-5)} + \frac{3y+5}{y(y-5)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $5y(y-5)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$, а второй — на $5$:

$\frac{y(y-25)}{5y(y-5)} + \frac{5(3y+5)}{5y(y-5)} = \frac{y^2-25y + 15y+25}{5y(y-5)}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{y^2 - 10y + 25}{5y(y-5)}$

Числитель $y^2 - 10y + 25$ является полным квадратом разности: $(y-5)^2$.

$\frac{(y-5)^2}{5y(y-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-5)$ (это возможно, так как $y=2,5$, а значит $y-5 \neq 0$):

$\frac{y-5}{5y}$

Теперь подставим значение $y = 2,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{2,5 - 5}{5 \cdot 2,5} = \frac{-2,5}{12,5} = -\frac{25}{125} = -\frac{1}{5} = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{2}{y^2-yx} - \frac{2}{yx-x^2}$ при $x = 2$ и $y = -3$, сначала упростим его.

Разложим знаменатели на множители.

В первом знаменателе: $y^2 - yx = y(y-x)$.

Во втором знаменателе: $yx - x^2 = x(y-x)$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{2}{y(y-x)} - \frac{2}{x(y-x)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $xy(y-x)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x$, а второй — на $y$:

$\frac{2x}{xy(y-x)} - \frac{2y}{xy(y-x)} = \frac{2x - 2y}{xy(y-x)}$

Вынесем в числителе общий множитель $2$:

$\frac{2(x-y)}{xy(y-x)}$

Заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе противоположны: $x-y = -(y-x)$.

$\frac{-2(y-x)}{xy(y-x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-x)$ (это возможно, так как при $x=2$ и $y=-3$, $y-x \neq 0$):

$\frac{-2}{xy}$

Теперь подставим значения $x = 2$ и $y = -3$ в упрощенное выражение:

$\frac{-2}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.