Номер 39.21, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (39.19–39.21):

39.21.

1) $\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - ab};$

2) $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2};$

3) $\frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2-a^2};$

4) $\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y};$

5) $\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4};$

6) $\frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b-b^3};$

7) $\frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{b^3-8x^3};$

8) $\frac{2y^2+16}{y^3+8} - \frac{2}{y+2};$

9) $\frac{1}{2a-2c} + \frac{1}{2a+2c} + \frac{2a^2}{a^2c-c^3};$

1) Для упрощения выражения $\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab}$ сначала преобразуем знаменатели. Знаменатель второй дроби: $b^2-ab = b(b-a) = -b(a-b)$. Подставим преобразованный знаменатель в исходное выражение: $\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{-b(a-b)} = \frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)}$. Теперь приведем дроби к общему знаменателю $b(a-b)^2$. $\frac{b \cdot b}{b(a-b)^2} + \frac{(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a^2-b^2)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{b(a-b)^2}$.

2) Для упрощения выражения $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2}$ разложим знаменатель последней дроби на множители: $36-a^2 = (6-a)(6+a) = -(a-6)(a+6)$. Подставим в выражение: $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{-(a-6)(a+6)} = \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$. Общий знаменатель равен $(a-6)(a+6)$. Приведем дроби к нему: $\frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{a(a+6) - 3(a-6) - a^2}{(a-6)(a+6)}$. Раскроем скобки и упростим числитель: $a^2+6a - 3a+18 - a^2 = 3a+18 = 3(a+6)$. Получаем дробь: $\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)}$. Сократим на общий множитель $(a+6)$: $\frac{3}{a-6}$.

Ответ: $\frac{3}{a-6}$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2-a^2}$. Разложим знаменатель третьей дроби: $16b^2-a^2 = -(a^2-16b^2) = -(a-4b)(a+4b)$. $\frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{-(a-4b)(a+4b)} = \frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)}$. Общий знаменатель $(a-4b)(a+4b)$. $\frac{(a+4b) - (a-4b) + 2a}{(a-4b)(a+4b)} = \frac{a+4b-a+4b+2a}{(a-4b)(a+4b)} = \frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)}$. Вынесем общий множитель 2 в числителе: $2(a+4b)$. $\frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} = \frac{2}{a-4b}$.

Ответ: $\frac{2}{a-4b}$.

4) Упростим выражение $\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y}$. Вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби: $2x-2y = 2(x-y)$. $\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2(x-y)}$. Общий знаменатель $2(x-y)^2$. $\frac{2x^2}{2(x-y)^2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} = \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$.

Ответ: $\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$.

5) Рассмотрим выражение $\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4}$. Знаменатель третьей дроби $y^2-4 = (y-2)(y+2)$. Это и будет общий знаменатель. $\frac{4(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{(y-2)(y+2)} = \frac{4(y-2) - 3(y+2) + 12}{(y-2)(y+2)}$. Упростим числитель: $4y-8 - 3y-6 + 12 = y-2$. Получаем дробь: $\frac{y-2}{(y-2)(y+2)}$. Сократим на $(y-2)$: $\frac{1}{y+2}$.

Ответ: $\frac{1}{y+2}$.

6) Упростим выражение $\frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b-b^3}$. Преобразуем знаменатели: $2b-2a = 2(b-a) = -2(a-b)$. $2b+2a = 2(b+a) = 2(a+b)$. $a^2b-b^3 = b(a^2-b^2) = b(a-b)(a+b)$. Выражение принимает вид: $\frac{1}{-2(a-b)} + \frac{1}{2(a+b)} + \frac{a^2}{b(a-b)(a+b)} = -\frac{1}{2(a-b)} + \frac{1}{2(a+b)} + \frac{a^2}{b(a-b)(a+b)}$. Общий знаменатель $2b(a-b)(a+b)$. $\frac{-b(a+b)}{2b(a-b)(a+b)} + \frac{b(a-b)}{2b(a-b)(a+b)} + \frac{2a^2}{2b(a-b)(a+b)} = \frac{-b(a+b) + b(a-b) + 2a^2}{2b(a-b)(a+b)}$. Упростим числитель: $-ab-b^2 + ab-b^2 + 2a^2 = 2a^2-2b^2 = 2(a^2-b^2)$. Подставим в дробь: $\frac{2(a^2-b^2)}{2b(a^2-b^2)} = \frac{1}{b}$.

Ответ: $\frac{1}{b}$.

7) Упростим выражение $\frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{b^3-8x^3}$. Знаменатель второй дроби - разность кубов: $b^3-8x^3 = b^3-(2x)^3 = (b-2x)(b^2+2bx+4x^2)$. Заметим, что $b-2x = -(2x-b)$. $\frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{(b-2x)(b^2+2bx+4x^2)} = \frac{1}{2x-b} - \frac{6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)}$. Общий знаменатель $(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)$. $\frac{b^2+2bx+4x^2 - 6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} = \frac{b^2-4bx+4x^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)}$. Числитель является полным квадратом: $b^2-4bx+4x^2 = (b-2x)^2 = (-(2x-b))^2 = (2x-b)^2$. $\frac{(2x-b)^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} = \frac{2x-b}{b^2+2bx+4x^2}$.

Ответ: $\frac{2x-b}{b^2+2bx+4x^2}$.

8) Упростим выражение $\frac{2y^2+16}{y^3+8} - \frac{2}{y+2}$. Знаменатель первой дроби - сумма кубов: $y^3+8 = y^3+2^3 = (y+2)(y^2-2y+4)$. Это и будет общий знаменатель. $\frac{2y^2+16}{(y+2)(y^2-2y+4)} - \frac{2(y^2-2y+4)}{(y+2)(y^2-2y+4)} = \frac{2y^2+16 - 2(y^2-2y+4)}{(y+2)(y^2-2y+4)}$. Упростим числитель: $2y^2+16 - 2y^2+4y-8 = 4y+8 = 4(y+2)$. Получаем дробь: $\frac{4(y+2)}{(y+2)(y^2-2y+4)}$. Сократим на $(y+2)$: $\frac{4}{y^2-2y+4}$.

Ответ: $\frac{4}{y^2-2y+4}$.

9) Упростим выражение $\frac{1}{2a-2c} + \frac{1}{2a+2c} + \frac{2a^2}{a^2c-c^3}$. Разложим знаменатели на множители: $2a-2c = 2(a-c)$. $2a+2c = 2(a+c)$. $a^2c-c^3 = c(a^2-c^2) = c(a-c)(a+c)$. Общий знаменатель: $2c(a-c)(a+c)$. $\frac{c(a+c)}{2c(a-c)(a+c)} + \frac{c(a-c)}{2c(a-c)(a+c)} + \frac{2a^2 \cdot 2}{2c(a-c)(a+c)} = \frac{c(a+c) + c(a-c) + 4a^2}{2c(a-c)(a+c)}$. Упростим числитель: $ac+c^2 + ac-c^2 + 4a^2 = 2ac+4a^2 = 2a(c+2a)$. Подставим в дробь: $\frac{2a(2a+c)}{2c(a-c)(a+c)}$. Сократим на 2: $\frac{a(2a+c)}{c(a-c)(a+c)} = \frac{a(2a+c)}{c(a^2-c^2)}$.

Ответ: $\frac{a(2a+c)}{c(a^2-c^2)}$.