Задания, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Правило умножения рациональных дробей: чтобы умножить рациональную дробь на рациональную дробь, нужно перемножить числители и записать в числитель, перемножить знаменатели и записать в знаменатель.

Самостоятельно докажите, что это правило можно использовать при умножении трех рациональных дробей: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} = \frac{acm}{bdn}$

Для доказательства того, что правило умножения двух рациональных дробей применимо и для трех, мы воспользуемся этим же правилом последовательно, а также сочетательным свойством умножения (ассоциативностью), которое позволяет нам группировать множители в любом порядке.

Рассмотрим произведение трех дробей: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} $.

Сначала умножим первые две дроби, $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $, согласно правилу (числитель на числитель, знаменатель на знаменатель):

$ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{m}{n} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{m}{n} $

В результате мы получили новую рациональную дробь $ \frac{ac}{bd} $. Теперь умножим эту дробь на третью дробь $ \frac{m}{n} $, снова применив то же правило:

$ \frac{ac}{bd} \cdot \frac{m}{n} = \frac{(ac) \cdot m}{(bd) \cdot n} $

Так как в числителе и знаменателе у нас произведения, мы можем убрать скобки, что дает нам итоговый результат:

$ \frac{acm}{bdn} $

Таким образом, мы доказали, что $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} = \frac{acm}{bdn} $. Это показывает, что правило умножения можно обобщить для любого количества рациональных дробей: результатом является дробь, числитель которой равен произведению всех числителей, а знаменатель — произведению всех знаменателей.

Ответ: Равенство $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} = \frac{acm}{bdn} $ доказано путем последовательного применения правила умножения для двух рациональных дробей.