Номер 39.10, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.10. Убедитесь, что при любом значении переменных значение выражения:

1) $\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}$ равно 4;

2) $\frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2}$ равно 2.

1) Чтобы убедиться, что значение выражения равно 4, преобразуем его. Так как у дробей одинаковый знаменатель $ab$, выполним вычитание числителей:

$\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{ab} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab)}{ab} = \frac{4ab}{ab}$

Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):

$\frac{4ab}{ab} = 4$

Таким образом, мы убедились, что значение выражения равно 4 при любых допустимых значениях переменных.

Ответ: 4.

2) Чтобы убедиться, что значение выражения равно 2, преобразуем его. У дробей одинаковый знаменатель $a^2+b^2$, поэтому сложим их числители:

$\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя те же формулы сокращенного умножения:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2+b^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2+b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 + a^2) + (b^2 + b^2) + (2ab - 2ab)}{a^2+b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2+b^2}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2+b^2}$

Сократим дробь на $(a^2 + b^2)$ (при условии, что $a^2 + b^2 \neq 0$, то есть $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):

$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2+b^2} = 2$

Таким образом, мы убедились, что значение выражения равно 2 при любых допустимых значениях переменных.

Ответ: 2.