Номер 40.6, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.6. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 - n^2}{3n - 1}$, если $m = \frac{1}{4}$, $n = -5;$

2) $\frac{(x - 2)^2}{4y^2 - 9} \cdot \frac{2y + 3}{x^2 - 4}$, если $x = 0,5$; $y = -1,5$.

1) Сначала упростим данное выражение, разложив числители и знаменатели на множители. В числителе первой дроби вынесем общий множитель $m$. В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{3mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 - n^2}{3n - 1} = \frac{m(3n - 1)}{4m + n} \cdot \frac{(4m)^2 - n^2}{3n - 1} = \frac{m(3n - 1)}{4m + n} \cdot \frac{(4m - n)(4m + n)}{3n - 1}$

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(4m+n)$ и множитель $(3n-1)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе, поэтому их можно сократить.

$\frac{m\cancel{(3n - 1)}}{\cancel{4m + n}} \cdot \frac{(4m - n)\cancel{(4m + n)}}{\cancel{3n - 1}} = m(4m - n)$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданные значения $m = \frac{1}{4}$ и $n = -5$.

$m(4m - n) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot \frac{1}{4} - (-5)) = \frac{1}{4} \cdot (1 + 5) = \frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5.

2) Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{(x - 2)^2}{4y^2 - 9} \cdot \frac{2y + 3}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 2)}{(2y)^2 - 3^2} \cdot \frac{2y + 3}{x^2 - 2^2} = \frac{(x - 2)(x - 2)}{(2y - 3)(2y + 3)} \cdot \frac{2y + 3}{(x - 2)(x + 2)}$

Сократим общие множители. Множитель $(x-2)$ и множитель $(2y+3)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе, поэтому их можно сократить.

$\frac{\cancel{(x-2)}(x-2)}{(2y - 3)\cancel{(2y + 3)}} \cdot \frac{\cancel{2y + 3}}{\cancel{(x - 2)}(x + 2)} = \frac{x-2}{(2y-3)(x+2)}$

Теперь подставим значения $x = 0,5$ и $y = -1,5$ в упрощенное выражение.

$\frac{0,5 - 2}{(2 \cdot (-1,5) - 3)(0,5 + 2)} = \frac{-1,5}{(-3 - 3)(2,5)} = \frac{-1,5}{(-6) \cdot 2,5} = \frac{-1,5}{-15}$

Разделим числитель и знаменатель на $-1,5$ или представим в виде обыкновенных дробей:

$\frac{1,5}{15} = \frac{15}{150} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: 0,1.