Номер 40.10, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.10. Докажите, что не зависит от допустимых значений переменной значение выражения:

1) $\frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 + a} : \frac{a - 1}{a};$

2) $\frac{(x+3)^2}{2x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{3x + 9} \cdot \frac{2}{(x+3)(x+2)};$

3) $\frac{(y-5)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10} \cdot \frac{2}{(y-5)(x+6)};$

4) $\frac{n^2 + 2nc}{n + 3} \cdot \frac{5n + 15}{n^2 - 4c^2} \cdot \frac{n - 2c}{n}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, нужно его упростить. Сначала заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:

$\frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a} : \frac{a-1}{a} = \frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a} \cdot \frac{a}{a-1}$

Теперь разложим числители и знаменатели на множители:

$a^2-1 = (a-1)(a+1)$ (разность квадратов)

$7a-7b = 7(a-b)$ (вынесение общего множителя)

$a^2+a = a(a+1)$ (вынесение общего множителя)

Подставим разложенные многочлены в выражение:

$\frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)} \cdot \frac{a}{a-1}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{7\cancel{(a-b)}}{\cancel{a}\cancel{(a+1)}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{(a-1)}} = 7$

Результат упрощения — число 7. Так как значение выражения является константой, оно не зависит от допустимых значений переменных a и b, что и требовалось доказать.

Ответ: 7.

2) Упростим данное выражение, разложив его числители и знаменатели на множители.

$\frac{(x+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{3x+9} \cdot \frac{2}{(x+3)(x+2)}$

Выполним разложение на множители:

$2x-4 = 2(x-2)$

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$3x+9 = 3(x+3)$

Подставим полученные выражения:

$\frac{(x+3)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)} \cdot \frac{2}{(x+3)(x+2)}$

Объединим все в одну дробь и произведем сокращение:

$\frac{(x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2) \cdot 2}{2(x-2) \cdot 3(x+3) \cdot (x+3)(x+2)} = \frac{2 \cdot (x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2)}{6 \cdot (x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2)}$

Сократив все общие множители, получаем:

$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Результат упрощения — число 1/3. Это константа, следовательно, значение выражения не зависит от допустимых значений переменной x, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) Для упрощения выражения разложим числители и знаменатели на множители. В исходном выражении, вероятно, допущена опечатка. Исходя из цели задания, наиболее вероятный вид последнего сомножителя — $\frac{2}{(y-5)(y-6)}$. Решим задачу для этого выражения.

$\frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} \cdot \frac{2}{(y-5)(y-6)}$

Разложим на множители:

$2y+12 = 2(y+6)$

$y^2-36 = (y-6)(y+6)$

$2y-10 = 2(y-5)$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)} \cdot \frac{2}{(y-5)(y-6)}$

Объединим множители и сократим дробь:

$\frac{2 \cdot (y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6)}{4 \cdot (y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6)}$

После сокращения всех переменных множителей остается:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Значение выражения равно 1/2, является константой и не зависит от переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Упростим выражение, разложив числители и знаменатели дробей на множители.

$\frac{n^2+2nc}{n+3} \cdot \frac{5n+15}{n^2-4c^2} \cdot \frac{n-2c}{n}$

Выполним разложение на множители:

$n^2+2nc = n(n+2c)$

$5n+15 = 5(n+3)$

$n^2-4c^2 = (n-2c)(n+2c)$

Подставим разложенные выражения:

$\frac{n(n+2c)}{n+3} \cdot \frac{5(n+3)}{(n-2c)(n+2c)} \cdot \frac{n-2c}{n}$

Запишем все в виде одной дроби для сокращения:

$\frac{5 \cdot n \cdot (n+3) \cdot (n+2c) \cdot (n-2c)}{n \cdot (n+3) \cdot (n-2c) \cdot (n+2c)}$

Сократив все общие множители в числителе и знаменателе, получаем:

$5$

Результат упрощения — число 5. Так как это константа, значение выражения не зависит от допустимых значений переменных n и c, что и требовалось доказать.

Ответ: 5.