Номер 40.8, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.8. Выполните действия:

1) $\frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10};$

2) $\frac{(a+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{2x+9};$

3) $\frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2};$

4) $\frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a}.$

1) Выполним умножение дробей $ \frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} $.

Для начала разложим числители и знаменатели на множители. Будем использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

Знаменатель первой дроби: $2y+12 = 2(y+6)$.

Числитель второй дроби: $y^2 - 36 = y^2 - 6^2 = (y-6)(y+6)$.

Знаменатель второй дроби: $2y-10 = 2(y-5)$.

Теперь подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$ \frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)} $

Сократим общие множители. Множитель $(y+6)$ есть в знаменателе первой дроби и в числителе второй. Множитель $(y-5)$ есть в числителе первой дроби (в квадрате) и в знаменателе второй.

После сокращения выражение примет вид:

$ \frac{y-5}{2} \cdot \frac{y-6}{2} $

Перемножим оставшиеся числители и знаменатели:

$ \frac{(y-5)(y-6)}{2 \cdot 2} = \frac{(y-5)(y-6)}{4} $

Ответ: $ \frac{(y-5)(y-6)}{4} $

2) Выполним умножение дробей $ \frac{(a+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{2x+9} $.

Разложим на множители те части дробей, где это возможно.

Знаменатель первой дроби: $2x-4 = 2(x-2)$.

Числитель второй дроби, используя формулу разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Многочлен $2x+9$ в знаменателе второй дроби не раскладывается на более простые множители.

Подставим разложения в наше выражение:

$ \frac{(a+3)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{2x+9} $

Сократим общий множитель $(x-2)$, который находится в знаменателе первой дроби и в числителе второй.

После сокращения получаем:

$ \frac{(a+3)^2}{2} \cdot \frac{x+2}{2x+9} $

Теперь перемножим оставшиеся дроби:

$ \frac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)} $

Ответ: $ \frac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)} $

3) Выполним умножение дробей $ \frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2} $.

Разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель второй дроби: $5b+15 = 5(b+3)$.

Знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов: $b^2-4c^2 = b^2-(2c)^2 = (b-2c)(b+2c)$.

Числитель первой дроби $a^2+2bc$ не поддается разложению на множители стандартными методами.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5(b+3)}{(b-2c)(b+2c)} $

Сократим общий множитель $(b+3)$ в знаменателе первой дроби и числителе второй.

Выражение после сокращения:

$ \frac{a^2+2bc}{1} \cdot \frac{5}{(b-2c)(b+2c)} $

Перемножим оставшиеся части:

$ \frac{5(a^2+2bc)}{(b-2c)(b+2c)} = \frac{5(a^2+2bc)}{b^2-4c^2} $

Ответ: $ \frac{5(a^2+2bc)}{b^2-4c^2} $

4) Выполним умножение дробей $ \frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a} $.

Разложим на множители все числители и знаменатели.

Числитель первой дроби (разность квадратов): $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

Числитель второй дроби (вынесение общего множителя): $7a-7b = 7(a-b)$.

Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя): $a^2+a = a(a+1)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)} $

Сократим общие множители. Множитель $(a-b)$ находится в знаменателе первой дроби и числителе второй. Множитель $(a+1)$ находится в числителе первой дроби и знаменателе второй.

После сокращения общих множителей получим:

$ \frac{a-1}{1} \cdot \frac{7}{a} $

Перемножим оставшиеся части:

$ \frac{7(a-1)}{a} $

Ответ: $ \frac{7(a-1)}{a} $