Номер 40.15, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.15. Упростите выражение:

1) $\frac{a-3}{2a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^3-27} \cdot \frac{a^2+3a+9}{a^2-2a}$;

2) $\frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} : \frac{a-4}{4b}$.

1) Дано выражение: $ \frac{a-3}{2a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^3-27} : \frac{a^2+3a+9}{a^2-2a} $.

Первым шагом заменим операцию деления на умножение, для этого перевернем последнюю дробь:

$ \frac{a-3}{2a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^3-27} \cdot \frac{a^2-2a}{a^2+3a+9} $

Далее, разложим на множители числители и знаменатели всех дробей, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Знаменатель первой дроби: $ 2a+4 = 2(a+2) $.

Числитель второй дроби: $ a^2-4 = (a-2)(a+2) $ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $ a^3-27 = a^3 - 3^3 = (a-3)(a^2+3a+9) $ (формула разности кубов).

Числитель третьей дроби: $ a^2-2a = a(a-2) $.

Выражение $ a^2+3a+9 $ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на множители в действительных числах. Оно является частью формулы разности кубов.

Теперь подставим разложенные многочлены в наше выражение:

$ \frac{a-3}{2(a+2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a^2+3a+9)} \cdot \frac{a(a-2)}{a^2+3a+9} $

Объединим все множители в одну дробь:

$ \frac{(a-3)(a-2)(a+2)a(a-2)}{2(a+2)(a-3)(a^2+3a+9)(a^2+3a+9)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (a-3) $ и $ (a+2) $.

После сокращения получаем:

$ \frac{(a-2)a(a-2)}{2(a^2+3a+9)(a^2+3a+9)} = \frac{a(a-2)^2}{2(a^2+3a+9)^2} $

Ответ: $ \frac{a(a-2)^2}{2(a^2+3a+9)^2} $

2) Дано выражение: $ \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} : \frac{a-4}{4b} $.

Заменим деление на умножение, перевернув последнюю дробь:

$ \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Разложим числители и знаменатели на множители:

Числитель первой дроби: $ ab-2b = b(a-2) $.

Знаменатель первой дроби: $ a^2+8a+16 = (a+4)^2 $ (формула квадрата суммы).

Числитель второй дроби: $ a^2-16 = (a-4)(a+4) $ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $ 2a-a^2 = a(2-a) = -a(a-2) $.

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{b(a-2)}{(a+4)^2} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{-a(a-2)} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Объединим все в одну дробь, чтобы выполнить сокращение:

$ \frac{b(a-2)(a-4)(a+4)4b}{(a+4)^2(-a(a-2))(a-4)} $

Сокращаем общие множители: $ (a-2) $, $ (a-4) $, и один множитель $ (a+4) $.

После сокращения остается:

$ \frac{b \cdot 4b}{(a+4)(-a)} = \frac{4b^2}{-a(a+4)} $

Для удобства вынесем знак минус перед дробью:

$ -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

Ответ: $ -\frac{4b^2}{a(a+4)} $