Номер 40.16, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.16. Докажите тождество:

1) $\frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{a - x};$

2) $\frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4}.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Заменим действие деления на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} : \frac{a^3-x^3}{x^2-1} = \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} \cdot \frac{x^2-1}{a^3-x^3} $

Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: разность кубов $a^3-x^3=(a-x)(a^2+ax+x^2)$ и разность квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

$ \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} $

Сократим общие множители $(a^2+ax+x^2)$ и $(x-1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{a^2+ax+x^2}}{\cancel{x-1}} \cdot \frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{(a-x)(\cancel{a^2+ax+x^2})} = \frac{x+1}{a-x} $

В результате преобразования левой части мы получили выражение, равное правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{ap^2-9a}{p^3-8} : \frac{p+3}{2p-4} = \frac{ap^2-9a}{p^3-8} \cdot \frac{2p-4}{p+3} $

Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях. В числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$ и применим формулу разности квадратов $p^2-9=(p-3)(p+3)$. В знаменателе первой дроби применим формулу разности кубов $p^3-8=p^3-2^3=(p-2)(p^2+2p+4)$. В числителе второй дроби вынесем общий множитель 2, $2p-4=2(p-2)$.

$ \frac{a(p^2-9)}{p^3-8} \cdot \frac{2(p-2)}{p+3} = \frac{a(p-3)(p+3)}{(p-2)(p^2+2p+4)} \cdot \frac{2(p-2)}{p+3} $

Сократим общие множители $(p-2)$ и $(p+3)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a(p-3)\cancel{(p+3)}}{\cancel{(p-2)}(p^2+2p+4)} \cdot \frac{2\cancel{(p-2)}}{\cancel{p+3}} = \frac{a(p-3) \cdot 2}{p^2+2p+4} = \frac{2a(p-3)}{p^2+2p+4} $

В результате преобразования левой части мы получили выражение, равное правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.