Номер 40.17, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.17. Докажите, что значение выражения:

1) $\frac{c^2 - 1}{c^3 + 1} : \frac{c - 1}{c^2 - c + 1}$ при ($c \ne 1$ и $c \ne -1$) не зависит от значения переменной $\text{c}$;

2) $\frac{a^2 - 4}{a^3 + 8} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{3a - 6}$ при ($a \ne 2$ и $a \ne -2$) не зависит от значения переменной $\text{a}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной c, нужно его упростить. Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $c^2 - 1 = (c-1)(c+1)$ и сумму кубов $c^3 + 1 = (c+1)(c^2-c+1)$.

$\frac{c^2-1}{c^3+1} : \frac{c-1}{c^2-c+1} = \frac{c^2-1}{c^3+1} \cdot \frac{c^2-c+1}{c-1} = \frac{(c-1)(c+1)}{(c+1)(c^2-c+1)} \cdot \frac{c^2-c+1}{c-1}$

При заданных ограничениях $c \neq 1$ и $c \neq -1$ знаменатели не обращаются в ноль, поэтому мы можем сократить общие множители:

$\frac{\cancel{(c-1)}\cancel{(c+1)}}{\cancel{(c+1)}\cancel{(c^2-c+1)}} \cdot \frac{\cancel{c^2-c+1}}{\cancel{c-1}} = 1$

Результат упрощения — число 1. Это константа, которая не зависит от значения переменной c.

Ответ: Значение выражения равно 1.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной a, упростим его. Разложим числители и знаменатели на множители.

Используем формулу разности квадратов: $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$.

Вынесем общий множитель за скобки: $3a - 6 = 3(a-2)$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{a^2-4}{a^3+8} \cdot \frac{a^2-2a+4}{3a-6} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} \cdot \frac{a^2-2a+4}{3(a-2)}$

При $a \neq 2$ и $a \neq -2$ знаменатели дробей не равны нулю, поэтому можно сократить общие множители:

$\frac{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a+2)}\cancel{(a^2-2a+4)}} \cdot \frac{\cancel{a^2-2a+4}}{3\cancel{(a-2)}} = \frac{1}{3}$

Результат упрощения — число $\frac{1}{3}$. Это константа, которая не зависит от значения переменной a.

Ответ: Значение выражения равно $\frac{1}{3}$.