Номер 41.3, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (41.3-41.4):

41.3. 1) $ \frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot \left(\frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3}\right); $

2) $ \left(\frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y}\right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2}. $

1) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $ (n - 3)(n + 3) $.

$ \frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3} = \frac{(6n + 1)(n + 3) + (6n - 1)(n - 3)}{(n - 3)(n + 3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ (6n^2 + 18n + n + 3) + (6n^2 - 18n - n + 3) = 6n^2 + 19n + 3 + 6n^2 - 19n + 3 = 12n^2 + 6 $

Знаменатель по формуле разности квадратов равен $ n^2 - 9 $. Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{12n^2 + 6}{n^2 - 9} $.

Теперь выполним умножение. Вынесем в числителе $ 12n^2 + 6 $ общий множитель 6 за скобки: $ 6(2n^2 + 1) $.

$ \frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot \frac{12n^2 + 6}{n^2 - 9} = \frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot \frac{6(2n^2 + 1)}{n^2 - 9} $

Сокращаем дроби на общие множители $ (n^2 - 9) $ и $ (2n^2 + 1) $:

$ \frac{\cancel{n^2 - 9}}{\cancel{2n^2 + 1}} \cdot \frac{6(\cancel{2n^2 + 1})}{\cancel{n^2 - 9}} = 6 $

Ответ: 6

2) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель $ (x - 6y)(x + 6y) $, что по формуле разности квадратов равно $ x^2 - 36y^2 $.

$ \frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y} = \frac{(6x + y)(x + 6y) + (6x - y)(x - 6y)}{(x - 6y)(x + 6y)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ (6x^2 + 36xy + xy + 6y^2) + (6x^2 - 36xy - xy + 6y^2) = 6x^2 + 37xy + 6y^2 + 6x^2 - 37xy + 6y^2 = 12x^2 + 12y^2 = 12(x^2 + y^2) $

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{12(x^2 + y^2)}{x^2 - 36y^2} $.

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$ \frac{12(x^2 + y^2)}{x^2 - 36y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2} = \frac{12(x^2 + y^2)}{x^2 - 36y^2} \cdot \frac{x^2 - 36y^2}{x^2 + y^2} $

Сокращаем дроби на общие множители $ (x^2 + y^2) $ и $ (x^2 - 36y^2) $:

$ \frac{12(\cancel{x^2 + y^2})}{\cancel{x^2 - 36y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2 - 36y^2}}{\cancel{x^2 + y^2}} = 12 $

Ответ: 12