Номер 41.7, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.7. Выполните действия:

1) $(2a + 1 - \frac{1}{1 - 2a}) : (2a - \frac{4a^2}{2a - 1});$

2) $(y + 1)^2 \cdot (\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y - 1});$

3) $1 - (\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c + 2}) \cdot (c - \frac{3c + 2}{4});$

4) $1 + (1 - \frac{9x^2 + 4}{12x}) : (\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}).$

1) $(2a + 1 - \frac{1}{1 - 2a}) : (2a - \frac{4a^2}{2a - 1})$

Сначала выполним действия в каждой из скобок.

Упростим выражение в первой скобке. Для этого изменим знак в знаменателе дроби, чтобы он совпадал со знаменателем во второй скобке, и приведем к общему знаменателю:

$2a + 1 - \frac{1}{1 - 2a} = 2a + 1 + \frac{1}{2a - 1} = \frac{(2a + 1)(2a - 1)}{2a - 1} + \frac{1}{2a - 1}$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$\frac{(2a)^2 - 1^2 + 1}{2a - 1} = \frac{4a^2 - 1 + 1}{2a - 1} = \frac{4a^2}{2a - 1}$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю:

$2a - \frac{4a^2}{2a - 1} = \frac{2a(2a - 1)}{2a - 1} - \frac{4a^2}{2a - 1} = \frac{4a^2 - 2a - 4a^2}{2a - 1} = \frac{-2a}{2a - 1}$

Теперь выполним деление полученных выражений:

$\frac{4a^2}{2a - 1} : \frac{-2a}{2a - 1} = \frac{4a^2}{2a - 1} \cdot \frac{2a - 1}{-2a}$

Сократим общие множители $(2a - 1)$ и $2a$:

$\frac{4a^2}{-2a} = -2a$

Ответ: $-2a$

2) $(y + 1)^2 \cdot (\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y - 1})$

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $y^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y - 1} = \frac{1 \cdot (y - 1)}{(y + 1)(y - 1)} + \frac{1}{(y - 1)(y + 1)} - \frac{1 \cdot (y + 1)}{(y - 1)(y + 1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(y - 1) + 1 - (y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{y - 1 + 1 - y - 1}{y^2 - 1} = \frac{-1}{y^2 - 1}$

Теперь выполним умножение:

$(y + 1)^2 \cdot \frac{-1}{y^2 - 1} = (y + 1)^2 \cdot \frac{-1}{(y - 1)(y + 1)}$

Сократим общий множитель $(y + 1)$:

$(y + 1) \cdot \frac{-1}{y - 1} = \frac{-(y + 1)}{y - 1} = \frac{y + 1}{-(y - 1)} = \frac{y + 1}{1 - y}$

Ответ: $\frac{y + 1}{1 - y}$

3) $1 - (\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c + 2}) \cdot (c - \frac{3c + 2}{4})$

Выполним действия по порядку. Сначала действие в первой скобке:

$\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c + 2} = \frac{2(c + 2) - 2(c - 2)}{(c - 2)(c + 2)} = \frac{2c + 4 - 2c + 4}{c^2 - 4} = \frac{8}{c^2 - 4}$

Теперь действие во второй скобке:

$c - \frac{3c + 2}{4} = \frac{4c}{4} - \frac{3c + 2}{4} = \frac{4c - (3c + 2)}{4} = \frac{4c - 3c - 2}{4} = \frac{c - 2}{4}$

Далее выполним умножение результатов:

$\frac{8}{c^2 - 4} \cdot \frac{c - 2}{4} = \frac{8}{(c - 2)(c + 2)} \cdot \frac{c - 2}{4}$

Сократим общие множители $8$ и $4$, а также $(c - 2)$:

$\frac{2}{c + 2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{c + 2}$

Наконец, выполним вычитание:

$1 - \frac{2}{c + 2} = \frac{c + 2}{c + 2} - \frac{2}{c + 2} = \frac{c + 2 - 2}{c + 2} = \frac{c}{c + 2}$

Ответ: $\frac{c}{c + 2}$

4) $1 + (1 - \frac{9x^2 + 4}{12x}) : (\frac{1}{3x} - \frac{1}{2})$

Сначала выполним действия в скобках. Упростим первую скобку:

$1 - \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x}{12x} - \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x - (9x^2 + 4)}{12x} = \frac{-9x^2 + 12x - 4}{12x}$

Вынесем минус за скобки в числителе и заметим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$\frac{-(9x^2 - 12x + 4)}{12x} = \frac{-((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2)}{12x} = \frac{-(3x - 2)^2}{12x}$

Теперь упростим вторую скобку (делитель):

$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6x} - \frac{3x}{6x} = \frac{2 - 3x}{6x} = \frac{-(3x - 2)}{6x}$

Выполним деление:

$\frac{-(3x - 2)^2}{12x} : \frac{-(3x - 2)}{6x} = \frac{-(3x - 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x - 2)}$

Минусы сокращаются. Сократим общие множители $(3x - 2)$, $6x$ и $12x$:

$\frac{(3x - 2)^2 \cdot 6x}{12x \cdot (3x - 2)} = \frac{(3x - 2)}{2}$

В завершение выполним сложение:

$1 + \frac{3x - 2}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3x - 2}{2} = \frac{2 + 3x - 2}{2} = \frac{3x}{2}$

Ответ: $\frac{3x}{2}$